Tema de estimación

Tema de estimación.

Ejercicios. Pág. 247, 248, 249

Para los siguientes ejercicios suponga que el muestreo se hace a partir de una población normal.

1. Calcule los intervalos de confianza de 95% para cada uno de los siguientes valores:

1. Establezca intervalo de confianza del 99% para la media de la población en el caso de cada uno de los ejemplos presentados en el ejercicio 1. ¿Son más amplios o más angostos los intervalos? ¿Por qué?
   
2. Repita el ejercicio 1, suponiendo que las desviaciones estándar indicadas son de la muestra y no de la población.
   
3. ¿Son más amplios o más angostos los intervalos del ejercicio 3 en comparación con los calculados en el ejercicio 1? ¿Por qué?
   
4. En un esfuerzo por mejorar su horario de citas, un médico estima el tiempo promedio que dedica a cada paciente. Una muestra aleatoria de 49 pacientes, seleccionada en un periodo de tres semanas, proporcionó una media de 30 minutos y una desviación estándar de 7.
   a) Establezca un intervalo de confianza de 95% para el tiempo promedio verdadero que el médico dedica a cada paciente.
   b) ¿Cuál es el error máximo probable relacionado con la estimación del inciso a?
   c) ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio verdadero sea superior a los 3 minutos?
   
5. El departamento de policía y tránsito llevó a cabo un estudio sobre la velocidad a la que conducen los automovilistas en una autopista durante las primeras horas de la mañana (2 am a 4 am) en un tramo de ésta. Durante el tiempo de estudio, en el radar se detectó que 100 automóviles tuvieron un promedio de velocidad de 70 millas por hora con una desviación estándar de 15 millas por hora.
   a) Estime la media verdadera (estimación de punto) de la población.
   b) Describa la población.
   c) Establezca un intervalo de confianza de 98% para la media de la población.
   d) ¿Cuál es el error máximo de asociado al intervalo calculado en el inciso c?
6. Una muestra aleatoria de 40 cuentas de cheques de una sucursal bancaria presentó un saldo promedio diario de $140.00 y una desviación estándar de $30.00.
   a) Establezca un intervalo de confianza de 95% para la media verdadera.
   b) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la media verdadera.
   c) ¿Qué se puede comentar con respecto al 95% de confianza acerca del tamaño máximo de error en la estimación del inciso a?
   
7. Vuelva a resolver el ejercicio 7, pero ahora utilizando un tamaño muestral de 15, una media de $140.00 y una desviación estándar de $30.00, para un intervalo de confianza de 95%. Suponga que se está muestreando a partir de una población normal, y explique por qué es necesario hacer este supuesto.
   
8. Una compañía emplea 200 agentes de ventas. En una muestra aleatoria de 25 cuentas de gastos de representación en una semana de diciembre, los auditores encontraron un gasto promedio de $220.00, con una desviación estándar de $20.00.
   a) ¿Cuál es la estimación de punto para la cantidad promedio?
   b) ¿Cuál es la estimación de punto para el total de 200 agentes de ventas?
   c) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la cantidad promedio.
   
9. A 100 alumnos de una preparatoria se les pidió que llevaran un registro de sus gastos de alimentación durante una semana. En la preparatoria hay 500 estudiantes. El resultado fue un gasto promedio de $40.00 y una desviación estándar de $10.00.
   a) Establezca un intervalo de confianza de 95% para la media verdadera.
   b) ¿Cuán importante es una muestra aleatoria en este ejemplo?
   
10. Determine el numero de observaciones requerido para estimar el tiempo medio de reparación respecto de llamadas de emergencia de instalaciones sanitarias, si el error máximo es de 0.6 a un nivel de confianza de 95%, y se sabe que el tiempo de reparación tiene una desviación estándar de 1 hora? ¿Acaso es necesario suponer que la población es normal?
    
11. ¿Cuál sería la respuesta del ejercicio 11 si el error máximo fuera de 0.3 horas?
    
12. Determine el tamaño necesario de una muestra para calcular el tiempo promedio que un vendedor de una mueblería tiene que dedicar a cada cliente, dentro de dos minutos, para obtener un nivel de confianza de 99%. Suponga que σx= 12 minutos.
    
13. Determine los valores para el ejercicio 1 en los que usted confíe que, en un 98%, la media verdadera es mayor.
    
14. En el caso del ejercicio 10, calcule un valor en que usted confíe que, en un 99%, no excederá la media verdadera.
    

Ejercicios. Pág. 256, 257, 258

1. Establezca un intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población en el caso de cada una de dichas proporciones muéstrales. El tamaño de la muestra es de 100 en todos los casos.
   a) 0.10                b) 0.20                c) 0.50                d) 0.80                e) 0.90
   
2. Con base a la respuesta del ejercicio 1, ¿Cómo influye el valor de la proporción de la muestra en la amplitud del intervalo de confianza?
   
3. Establezca intervalo de confianza de 99% para cada una de las proporciones muéstrales del ejercicio 1. ¿Son los intervalos de 99% más amplios o más angostos que los de 95%? ¿Por qué?
   
4. Utilice la fórmula para la aproximación de una muestra grande, a fin de establecer los siguientes intervalos de confianza:
   a) x/n= 0.20, n= 50, intervalo de confianza del 95%
   b) x/n= 0.10, n= 100, intervalo de confianza del 92%
   
5. ¿Por qué la tabla 8.5 no seria apropiada para desarrollar el ejercicio 4a?¿Por qué la tabla  k no seria apropiada para llevar a cabo el ejercicio 4b?
   
6. Calcule los intervalos de confianza de 95% respecto a la proporción de la población, utilizando en primer lugar la tabla k del apéndice y después la formula para aproximación de muestras grandes en los siguientes casos:
   a) x/n= 50%; n=400, n=100, n=25, n=16
   b) x/n= 10%; n=400, n=100, n=25, n=16
   
7. Basándose en las respuestas del ejercicio 6, ¿Qué reglas generales se pueden seguir con respecto a la exactitud de la fórmula para:
   a) x/n cercana a 0.5 en relación con x/n no cercana a 0.5?
   b) n grande en relación a n pequeña
   
8. En un estudio reciente de 200 personas que viven en una gran ciudad, 40 aprobaron el restablecimiento de la pena de muerte para los que fuman mariguana.
   a) Establezca un intervalo de confianza del 99% respecto a la proporción real respecto a los que viven en dicha ciudad y que concordarían en la pena de muerte para los que fuman mariguana.
   b) ¿Qué puede decir con respecto al tamaño del error máximo para este intervalo de confianza?
9. Una muestra aleatoria de 100 clientes que realizan sus compras a mediodía en un supermercado revela que todos, excepto 10, incluye la leche en sus compras.
   a) ¿Cuál sería la estimación de punto del porcentaje de estos clientes que compran leche?
   b) Establezca un intervalo de confianza del 90% para la proporción verdadera de personas que compran leche.
   c) ¿Qué se puede decir con respecto al error posible, asociado al intervalo de confianza del inciso b?
   
10. Un grupo de investigación de mercado descubrió que el 25% de 200 clientes que fueron recientemente entrevistados en un gran centro comercial, residían a más de 15 km de ahí. Suponga que se toma una muestra aleatoria.
    a) Establezca un intervalo de confianza de 95% para el porcentaje real de clientes que viven a más de 15 km de dicho centro.
    b) ¿Cuál es el error probable máximo, asociado al intervalo del inciso a?
    c) En este caso, ¿Qué significa el término “muestra aleatoria”?
    d) ¿Por qué es importante obtener una  muestra aleatoria?
    
11. Una muestra aleatoria de 40 hombres que trabajan en el proyecto de construcción de un gran edificio indica que 6 hombres no utilizan cascos de protección.
    a) Establezca un intervalo de confianza de 98% con respecto a la verdadera de hombres que no utilizan cascos de protección.
    b) Si hay 1000 hombres trabajando en la construcción, convierta el intervalo de confianza de cifras de porcentaje a número de hombres.
    c) ¿Qué se puede decir acerca del tamaño máximo de error asociado al intervalo del inciso a? ¿del inciso b?
    
12. 5 de 20 secretarias seleccionadas al azar, que laboran en un enorme despacho de abogados, señalan no estar conformes con el tipo de trabajo que realizan. Si hay 50 secretarias en el bufete.
    a) Establezca un intervalo de confianza de 90% para la proporción de secretarias inconformes.
    b) Convierta el intervalo del inciso anterior a número de secretarias.
    
13. El 25% de 48 personas elegidas aleatoriamente que están formadas para entrar a ver una película, indicaron que la principal característica de está es que contiene mucha violencia.
    a) ¿Cuál larga tendría que ser la cola antes de que se pueda ignorar el factor finito de corrección?
    b) Establezca un intervalo de confianza de 98% para la proporción verdadera si hay 100 personas formadas.
    c) Establezca un intervalo de confianza de 98% si hay 500 personas formadas.
    
14. Una biblioteca pública quiere calcular el porcentaje de libros de que disponen con fechas de publicación de 1970 o anteriores. ¿De qué tamaño debe tomar la muestra aleatoria para que se tenga un 90% de seguridad de quedar dentro del 5% de la proporción real de la muestra?
    
15. Un fabricante de “destelladores” para cámaras fotográficas quiere estimar la probabilidad de que funcione cada uno de ellos como estos se destruye al ser probados, se quiere tomar la muestra más pequeña posible. Obtenga el número de observaciones que se deben llevar acabo para estimar la probabilidad dentro de 0.04, con una confianza de 95% si el fabricante:
    a) No tiene idea del porcentaje de productos defectuosos.
    b) Cree que el porcentaje de productos defectuosos no es mayor de 6%

Temas de repaso.

1. Haga una comparación entre la estimación de punto y la de intervalo.
2. En una situación dada, ¿Qué efecto tendrá el aumento del tamaño de la muestra sobre el error máximo cuando se estima una media de población?
3. ¿Cuál es la relación entre error máximo y amplitud de un intervalo de confianza?
4. ¿Cómo están relacionados el error estándar de estimación y la desviación estándar de una distribución de muestreo de medias?
5. ¿Qué efecto tendrá el aumentar el nivel de confianza sobre la amplitud del intervalo de confianza resultante, en una situación dada?
6. ¿En que condiciones es necesario saber que una distribución de una población es aproximadamente normal?
7. ¿En que condiciones resulta adecuada la distribución t? ¿Cuándo se puede utilizar el valor normal de z como una aproximación al valor de t?
8. ¿Por qué la estimación de intervalo de proporciones es más amplia cuando la proporción de la muestra es igual al 50%?
9. ¿Cuál es el objeto del factor finito de corrección? ¿Cuándo se debe utilizar?
10. En un intervalo de confianza por la media de la población ¿Cómo influye el tamaño de las desviaciones estándar de la población (o muestras) en la amplitud del intervalo?
11. ¿En qué diferencia un intervalo de confianza unilateral respecto a la media de una población de un intervalo bilateral?

Ejercicios suplementarios

3- Seis de 48 terminales de una computadora de tiempo compartido, seleccionadas al azar, proporcionan respuestas en caracteres incorrectos. Una compañía posee 800 de esas terminales.
a) Calcule el porcentaje de terminales que dan respuestas incorrectas.
b) Establezca un intervalo de confianza de 95% para la proporción de las terminales de la compañía que presentan este defecto.
c) ¿Es necesario suponer una población normal? Explíquelo.

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