Teorema de Pitagoras.

Teorema de Pitágoras

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[pic 1]

[pic 2]

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

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Este teorema fue propuesto por Pitágoras de Samos (582 adC - 496 adC), un filósofo y matemático griego.

Triángulo rectángulo

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[pic 4]

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de sus tres ángulos es recto, es decir, mide 90º o π/2 radianes. Este tipo de triángulo cumple el Teorema de Pitágoras.

Como muestra la figura adjunta, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Por el contrario, el cateto es cualquiera de los dos lados que forman el ángulo recto del triángulo.

Pitágoras[pic 5]

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(Redirigido desde Pitágoras de Samos)

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[pic 6]

Moneda con la figura de Pitágoras

Pitágoras de Samos (en griego Πυθαγόρας ο Σάμιος) (h. 582/569 - h. 510/ 480 adC]) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras.

Pitágoras, nació en la isla de Samos. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Militene a estudiar con Ferécides de Syros y tal vez con su padre, Babydos de Syros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diogenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tirania de Polícrates. Problemas políticos le obligaron a mudarse a Crotona, en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida(excepto hacia impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron a Tarento donde se fundo su tercera escuela.

Su escuela de pensamiento afirmaba que la estructura del universo era aritmética y geométrica, a partir de lo cual las matemáticas se convirtieron en una disciplina fundamental para toda investigación científica.

Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de un marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en su muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que él tenía tres. Era ciertamente instruído, aprendiendo a tocar la lyra, poesía y a recitar Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influenciado a Pitágoras en su juventud.

Pitágoras pasa por ser el introductor de pesos y medidas, descubridor de la teoría musical; en hablar de "teoría" y de "filósofos", en postular el vacío, en canalizar el fervor religioso en fervor intelectual, en usar la definición, en considerar que el universo era una obra sólo descifrable por medios matemáticos fueron los pitagóricos los primeros en sostener la forma esférica de la tierra.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b.

[pic 7]

Si añadimos tres iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar una posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a + b.

El área de este cuadrado puede expresarse de dos maneras:

• El cuadrado del lado:

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• Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:

[pic 9]

Igualando ambas expresiones:

[pic 10]

y simplificando:

[pic 11]

Corolario del Teorema de Pitágoras

Números impares

Sea un número x impar, entonces los números correspondientes al trio pitagórico asociados a este número son:

a: x
b: [pic 12]
c: [pic 13]

La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente igualdad:

[pic 14]

Números pares

Sea un número y par, entonces los número correspondientes al trio pitagórico asociados a este número son:

a: y
b: [pic 15]
c: [pic 16]

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