Teorema De Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Uno de los teoremas más conocidos y útiles en Geometría es el Teorema de Pitágoras, llamado así por el matemático griego Pitágoras. Este teorema se enuncia así:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.”

Con estas fórmulas podemos calcular el valor de los catetos o el de la hipotenusa.

Ejemplos. Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes casos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm, respectivamente.

2. Los lados de un triángulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.

3. Determinar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 6 cm y 3 cm respectivamente.

4. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de sus catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.

5. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado si su lado mide 12 cm?

6. Hallar el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que la medida del ancho es 15 cm y la medida de la diagonal es 20 cm.

7. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

Además, del teorema de Pitágoras tenemos el recíproco del Teorema de <Pitágoras que dice:

“Si la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo, es igual al cuadrado

de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”.

Las siguientes propiedades nos permiten saber la clasificación de un triángulo según la medida de sus ángulos, conociendo sólo la medida de sus lados:

Ejemplo. Indique en cada caso si las medidas de los lados corresponden a un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo.

a) 4 cm, 5 cm, 2 cm. b) 5 cm, 4 cm, 6 cm. c) 15 cm, 9 cm, 12 cm.

Práctica. Indique en cada caso si las medidas de los siguientes lados corresponden a un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo:

a) 31, 40, 53 ______________________

b) 41, 38, 52 ______________________

c) 18, 30, 24 ______________________

d) 50, 48, 14 ______________________

e) 7, 8, 9 ______________________

f) 10, 26, 24 ______________________

g) 10, , 12 ______________________

h) , , 1 ______________________

Triángulos Especiales

Llamamos triángulos especiales a dos triángulos rectángulos que poseen los ángulos de la siguiente manera: en uno los ángulos miden 45º - 45º - 90º y en el otro 30º - 60º - 90º.

Estos triángulos nacen como consecuencia de ciertas propiedades que se cumplen en los triángulos equiláteros y en los cuadrados.

Triángulo rectángulo isósceles

En el triángulo cuyos ángulos miden 45º - 45º - 90º,

la longitud de la hipotenusa es multiplicado

por la longitud de un cateto.

Nota: observe que este triángulo es isósceles,

por lo tanto sus dos catetos miden igual.

Triángulo semiequilátero

En el triángulo cuyos ángulos miden 30º - 60º - 90º ,

la longitud del cateto mayor es multiplicado

por la longitud del cateto menor y la longitud de la

hipotenusa es la longitud del cateto

menor multiplicado por dos.

Ejemplos. Calcule el valor de “x” y “y”.

Derivados del Teorema de Pitágoras

Ya

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