Tranformaciones Ortogonales

CLASSIFICACIÓ DE LES TRANSFORMACIONS ORTOGONALS DEL PLA

Sigui f Î End(¡2 ) una transformació ortogonal del pla, aleshores f només pot ser :

1. Un gir d’angle a centrat a l’origen de coordenades , que denotarem per ga .

2. Una simetria axial amb eix de simetria una recta r que passa per l’origen , que denotarem per r S .

Propietats i elements característics dels girs

1. Els girs conserven l’orientació.

2. Si A és la matriu de ga en una base qualsevol Þ det(A) = + 1 i traça(A) = 2cosa , on a és l’angle del gir.

3. En una base ortonormal qualsevol { } 1 2 u ,u la matriu de ga és

cos sin

sin cos

a a

a a

æ - ö

ç ÷

è ø

, on a és l’angle entre 1 u i ( ) 1 g u a en sentit positiu. Aleshores :

a) Si 0º g Id a a = Þ = i tots els vectors de ¡2 són vectors propis de valor propi + 1 .

b) Si 180º g Id g a a a = Þ = - Þ és una simetria central i tots els vectors de ¡2 són vectors propis de valor propi - 1 .

c) Si a ¹ 0º ,180ºÞ ga no té vectors propis de valor propi real.

Propietats i elements característics de les simetries axials

1. Les simetries no conserven l’orientació i 2

r S = Id .

2. Si A és la matriu de r S en una base qualsevol Þ det(A) = - 1 i traça(A) = 0 .

3. r S té subespais 1 ( ) r E = Ker S - Id i 1 ( ) r E Ker S Id - = + de dimensió 1 i ortogonals entre ells.

4. L’eix de simetria és la recta que passa per l’origen amb vector director 1 wÎ E i d’equació y = tg (a 2) x , on

2

a

és l’angle entre r i l’eix OX.

5. En una base ortonormal { } 1 1 2 1 u E ,u E- Î Î la matriu de r S és

1 0

0 1

æ ö

ç - ÷ è ø

.

6. En una base ortonormal qualsevol { } 1 2 v , v , la matriu de r S és

1 0 cos sin

0 -1 sin cos

P PT

a a

a a

× æ ö × = æ ö ç ÷ ç - ÷ è ø è ø

, on P és la matriu del canvi de base { } { } 1 2 1 2 u ,u ® v ,v .

7. Tota simetria axial és la composició de la simetria axial amb base ortonormal { } 1 1 2 1 u E ,u E- Î Î i el gir ga .

...