Transferencia Cilindro

Solución de la ecuación de la difusión de calor, empleando el método implícito y volúmenes finitos en Matlab, en un sólido.

Transferencia de Calor 1

Calvache Damian1 ;Granja Juan2

1,2, Escuela Politécnica Nacional. Facultad de Ingeniería Mecánica Quito, Ecuador

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Abstract—The following document presents a summary of the resolution of the heat diffusion equation, through the implicit method and finite volumes using MATLAB. A methodology is proposed to reach the different equations that govern the physical problem. Flows imposed on the non-adiabatic surfaces.. Subsequently, the different results obtained from the programming are presented, which are analyzed and compared with model curves for the specific case that has been selected. Finally, it is concluded based on the results obtained and the objectives proposed in this project.

Keywords—Heat transfer, diffusion equation, transient, conduction, spoom.

1. Introducción

La conducción en estado transitorio tiene lugar en numerosos fenómenos naturales así como en aplicaciones ingenieriles. Existen diferentes métodos que permiten modelar este tipo de comportamientos tales como el análisis a través de “Lumped Capacitance Method” , sólido semi-infinito y métodos de diferencias finitas. Este útlimo contribuye a suplir las deficiencias de métodos analíticos en la resolución de problemas transitorios. El principal inconveniente de los diferentes métodos analíticos que han sido desarrollados es que tienden a limitarse a disposiciones de tipo geométrico básicas, con sus respectivas condiciones de borde. Dentro de este grupo se encuentran los casos de transferencia unidimensional [1].

Los métodos de diferencias finitas, por ende, permiten modelar y analizar casos en los cuales tanto la geometría como distintas condiciones de borde prescienden el uso de técnicas de tipo analíticas. Se consideran de esa manera dos casos de estudio dentro de los métodos de diferencias finitas, forma explícita e implícita, ambos aplicables a problemas de transferencia en estado transitorio.

El método explícito se basa en la discretización espacial y temporal del caso de estudio. Obtiene dicho nombre debido a que las diferentes temperaturas de los nodos que no se conocen, se encuentran determindas únicamente por las temperaturas resultantes del momento anterior. Es decir que en este método, las temperaturas se calculan en el tiempo previo. Es importante notar que en este tipo de métodos, los resultados buscados pueden ser más precisos si se aumenta el valor de la discretización, es decir, valores más reducidos de la variación del espacio o tiempo. Paralelamente, los puntos nodales en los cuales se trabaja aumentarán proporcionalmente [2]. Esto se evidencia en el tiempo de cálculo resultante de dicha cantidad de nodos. Es imperativo lograr una relación adecuada entre la capacidad computacional disponible y la presición que se pretende obtener.

Por otro lado, el método implicito se basa en lo contrario a lo previamnete mencionado. La temperatura de un nodo a cualquier tiempo puede ser determinada evaluando en el nuevo tiempo y no en el previo. Una de las grandes ventajas de este método respecto al anterior se basa en la disminución de tiempo empleado en el cálculo, para ciertos casos. Es así que la temperatura que se plantea encontrar está en función de las temperaturas de sus nodos adyacentes, las mismas que no son conocidas [3]. Por ende, las ecuaciones deben ser resueltas de manera paralela.

1. Metodología

El caso seleccionado de estudio en el presente trabajo, es el caso de dos flujos constantes impuestos sobre las superficies no adiabáticas, como se muestra en la Figura 1. La revisión bibliográfica es clave en la compresión del problema que fue propuesto.  Es por esta razón, que se definió el primer paso a ejecutarse como la comprensión física del fenómeno, con ayuda de la bibliografía propuesta. Una vez que se entendió por completo la naturaleza de este, se determinaron las variables que influyen en su estado.

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Figura 1. Caso de estudio, flujo de calor constante.

El análisis del problema, planteado como un proceso de carácter cognoscitivo como se mencionó en el anterior párrafo, dio paso a la síntesis de lo que se propone lograr. En consecuencia, se formularon las ecuaciones que se valen del método implícito y volúmenes finitos, para resolver la ecuación de la difusión de calor. Estas se muestran a continuación.

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(1)

Para la ecuación del centro, se asume que ambos calores entran por conducción, de donde se obtiene la ecuación (2).

Ecuación evaluada en el centro del cilindro:  

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(2)

Para la ecuación de los extremos, se asume que q1 entra por conducción y q2 es un flujo constante de 12500 W/m2 , de donde se obtiene la ecuación (3) y (4).

Ecuación evaluada en los extremos del cilindro:  

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(3)

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(4)

Las ecuaciones han sido determinadas y se procede a elegir un software de programación. Se ha seleccionado MATLAB por la versatilidad que presenta y las herramientas de matrices que dispone. Se realizan las pruebas del correcto funcionamiento del código programado. Es de suma importancia tener en cuenta la claridad con la que se escribe el código, por lo que se comenta a través de notas en las líneas de programación.

Se procede a graficar las curvas de temperatura en función del tiempo, para determinadas secciones de la abrazadera: en el punto medio y en el extremo. Estas gráficas indicarán si la programación ha sido lograda satisfactoriamente por lo que se procede a validarlas a través de la comparación con un modelo verificado. Se utiliza un software que permite contrastar gráficos y determinar la semejanza de las mismas.

Se grafican los perfiles de temperatura de la abrazadera en diferentes tiempos para evaluar la transferencia de calor debido al tiempo y a la geometría del cuerpo que se estudia.

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