Técnica numérica: Método de Euler

1.4 Técnica numérica: Método de Euler

Los métodos numéricos ofrecen información cuantitativa sobre soluciones, aun si no podemos encontrar la fórmula. El procedimiento numérico que veremos en esta sección se llama método de Euler

El método de Euler usa la pendiente para calcular tk+1 en el campo de pendientes, de hecho determina el punto (tk+1,yk+1) suponiendo que se encuentra sobre la línea que pasa por (tk,yk) con pendiente f(tk,yk)

Usando la fórmula de pendiente para determinar (yk+1)

yk+1 − yk tk+1 − tk = f(tk,yk)

Como tk+1 = tk + ∆t, el denominador tk+1 − tk es justamente ∆t Tenemos yk+1 − yk

∆t = f(tk,yk)

yk+1 − yk = f(tk, yk)∆t

yk+1 = yk + f(tk, yk)∆t

Esta es la fórmula para el método de Euler

Método de Euler para dydt = f(t,y)

Dada la condición inicial y(t0) = y0) y el tamaño del paso ∆t. Calcule el punto tk+1,yk+1 a partir del punto precedente (tk,yk) como sigue

• Use la ecuación diferencial para determinar la pendiente f(tk,yk)

• Calcule el siguiente punto (tk+1,yk+1) mediante las formulas

yk+1 = yk + ∆t y

yk+1 = yk + f(tk,yk)∆t

Ejemplo

dydt = 2y − 1, y(0) = 1 f(t,y) = 2y − 1

El método de Euler está dado por

yk+1 = yk + (2yk − 1)∆t

Entonces se probara con ∆t = 0.1 y aproximamos la solución sobre el intervalo

0 ≤ t ≤ 1

Hay que calcular 10 porciones del método. La condición inicial y(0) = 1 proporciona el valor inicial y0 = 1 con ∆t = 0.1, tenemos

y1 = y0 + 0.1 = 0 + 0.1 = 0.1

Calculando la coordenada y para el primer paso

y1 = y0 + (2y0 − 1)∆t = 1 + (1)0.1 = 1.1

Así el primer punto (t1,y1) sobre la gráfica de la solución aproximada es (0.1,1.1)

Para calcular la coordenada y2 para el segundo paso, usamos ahora y1 en vez de y0, es decir

y2 = y1 + (2y1 − 1)∆t = 1.1 + (1.2)0.1 = 1.22

Así sucesivamente se calculara las coordenadas hasta llegar a las diez porciones por el método de Euler

k tk yk 0 0 1 1 0.1 1.10 2 0.2 1.22 3 4 5 6 7 8 9 10

Actividad para participación

1. Calcular la tk y yk para los otras diez proporciones, anotar los resultados en la tabla 2. Graficar los resultados obtenidos en un graficador

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