¿Un número que es una combinación de dos números?

Números complejos

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario

Ejemplos:

1 + i        12 - 3.1i        -0.85 - 2i        π + πi        √2 + i/2

¿Un número que es una combinación de dos números?

¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!

Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".

Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).

Cero

Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

Número complejo        Parte real        Parte imaginaria

3 + 2i        3        2

5        5        0

-6i        0        -6

Sumar y multiplicar

Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:

(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i

Puedes intentarlo tú mismo: escribe (3 + 2i)(1 + 7i) en la calculadora de números complejos.

Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1

Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i

¡Los números imaginarios existen!

Este es un buen argumento sobre la existencia de números imaginarios:

Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes -1

Así que puedes elevar un número al cuadrado y tener -1 ... si usas las reglas de los números complejos.

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo: 

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo: 

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

[pic 1]

Ejemplo: 

[pic 2]

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi  y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

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