Variable Compleja

3.- FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBÓLICAS

Definiéremos las funciones trigonométricas complejas e hiperbólicas. A demás, vamos a demostrar que las funciones complejas trigonométricas e hiperbólicas tienen la misma derivaba y satisfacen muchas de las identidades como las funciones reales trigonométricas e hiperbólicas

3.1.- FUNCIONES TRIGOMETRICAS COMPLEJAS

Si x es una variable real, entonces se deduce de la definición de la función exponencial compleja, mediante la adición o resta de las ecuaciones y simplificando, obtenemos una ecuación que relaciona la función del coseno real y seno real con la función exponencial compleja.

e^ix=cos x + i sen x……. (1) e^(-ix)=cos x - i sen x…… (1) cos x =(e^ix+e^(-ix))/2 ……………………………(2) sen x =(e^ix- e^(-ix))/2i…………(3)

Ahora definiremos las funciones trigonométricas complejas sustituyendo la variable real “x” por la variable compleja “z” en (2) y (3)

El seno y coseno complejos se definen por:

sen z =(e^ix- e^(-ix))/2i……………(4) cos z =(e^ix+ e^(-ix))/2…………..(4)

De esto se deduce de (2) y (3) que el seno y coseno complejos se define por (4) concuerda con el seno y coseno reales para la variable real. A continuación definimos la tangente compleja, contangente, secante, y cosecante, utilizando el seno y coseno complejos.

Tan z=(sen z )/cos⁡〖 z〗 , cot z=(cos z )/sen⁡〖 z〗 , sec z=(1 )/cos⁡〖z 〗 , y csc z=(1 )/(sen z ) ……… (5)

Estas funciones también concuerdan con sus contrapartes reales para la variable real.

IDENTIDADES la mayoría de las identidades conocidas para las funciones trigonométricas complejas. Se deduce de la definición de las funciones de senos y cosenos complejos y de las propiedades de las funciones exponenciales complejas. Ahora se enlistaran algunas de las identidades trigonométricas más útiles. Cada uno de sus resultados es idéntico al del análogo real

Sen (-z)= -sen z cos(-z)= cos z…….(6)

Cos²z + sen²z=1………..(7)

Sen(z1 +- z2)= sen z1 cos z1 +- cos z1 sen z2…….(8)

Cos (z1 +- z2)= cos z1 cosz2 +- sen z1 sen z2………(9)

Observe que las formulas de angulo doble son consecuencia directa de (8) y (9)

Sen 2z= 2sen z cos z Cos 2z= Cos²z - sen²z …………(10)

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