Historia De La Variable Compleja

Historia de la variable compleja

El desarrollo de las matemáticas está íntimamente relacionado con la historia del número. Como el producto de un número real por sí mismo es siempre positivo es claro que se necesita ampliar el campo numérico para dar solución a determinadas ecuaciones. Los números complejos son unos de los milagros de las matemáticas. La resolución de la paradoja de √(-1) fue muy poderosa, inesperada y bella por lo que únicamente la palabra milagro parece adecuado para describirla. Al principio de su historia los números complejos fueron considerados como números imposibles tolerados únicamente en un limitado dominio algebraico porque parecían útiles para resolver ecuaciones cubicas. Cobraron significado cuando se interpretaron geométricamente y no obstante la variable compleja ha servido para la unificación de funciones algebraicas con los transformaciones conformes, teorías del potencial y otros imposibles campos como la geometría no euclideas.

Los números complejos

Los números complejos se empiezan a utilizar para obtener soluciones algebraicas y culminan en esta sentido cuando se demuestra el teorema fundamental de algebra.

Usualmente se dice que los números complejos nacen de la necesidad de resolver la ecuación cuadrática x^2+1=0 con la dificultad de que carece de sentido geométrico el que un cuadrado tenga un área negativa. Sin embargo esto no es enteramente cierto. Muchas ecuaciones cuadráticas son círculos o parábolas, están ya implícitas en la geometría de los griegos y entonces se analizo si tenían o no solución real. Por ejemplo la interacción de una recta con dichas figuras

Análisis complejo

Gráfico de la función f(z)=(z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i). La coloración representa elargumento de la función, mientas que el brillo representa el módulo.

El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga lasfunciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.

El que una función compleja sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como una serie de potencias en algún disco abierto donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición equivalente para función holomorfa es: una función compleja sobre los complejos que puede ser representada como una serie de potencias. Esta definición es la más común para funciones holomorfas de varias variables.

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