Ejercicios de Variable compleja

Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 1

Sea el número complejo z expresado en forma binomia :

z=2+23√⋅i

obtenerlo en su forma trigonométrica.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 2

Calcular la sexta potencia del número complejo dado por :

z=2+23√⋅i

Expresando el resultado en forma binomia y en forma trigonométrica.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 3

Obtener la forma binomia de la expresión dada por la siguiente ecuación:

1+2⋅i−−−−−−√+1−2⋅i−−−−−−√

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 4

Obtener la forma binomia de las expresiones dadas a continuación:

1i;1+i1−i

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 5

Expresar en su forma binomia los números complejos siguientes:

21−3i;(1+i3√)3

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 6

Encontrar los módulos y los argumentos principales de los números complejos siguientes:

3i;1+i;2−5i

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 7

Si z=x+iy obtener las partes real e imaginaria de las siguientes expresiones:

1z;z−1z+1

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 8

Comprobar mediante el correspondiente cálculo que los valores de la función de variable compleja z dada por:

zz2+1

para z=x+ix y z=x−iy son conjugados

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 9

Resolver las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos:

x2=−1;x3=i

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 10

Encontrar todos los valores, reales y complejos de las siguientes raices:

3+4i−−−−−√;1−i−−−−√

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 11

Calcular la integral :

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 12

Resolver la integral :

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 13

Resolver las integrales de Fresnel :

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 14

Sea f(z) una función análitica en un dominio D, y sea C el contorno de dicho dominio. Si z1,… , zk son polosexteriores, se demuestra que podemos escribir:

donde el símbolo ↓ indica que la integral se hace en sentido negativo. Teniendo en cuenta lo anterior podemos escribir :

y tenemos :

Si z = ∞ es cero de primer orden, entonces : Res(f, ∞ ) = -Lím z.f(z) (cuando z → ∞ )

Si z = ∞ es cero de orden > , entonces : Res(f, ∞ ) = 0

Si z = ∞ es polo de orden n, entonces : Res(f, ∞ ) = - Res[(1/z² ).f(z) , 0]

Como aplicación a estos conceptos calcúlese la integral :

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 15

Se demuestra en teoría que si una función es análitica, la suma de todos sus residuos, comprendido el del infinito, es cero. Aplicar lo dicho al cálculo de la integral :

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 16

Obtener la integral :

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 17

Calcular los ceros exteriores a |z| = 1 , para F(z) = z8 - 4.z5 + z² + 1

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 18

Encontrar los ceros de z7 - 5. z³ + 12 en el anillo 1< |z| < 2.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 19

Estudiar la derivación de la función f(z) = x en el caso real y en el caso complejo.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 20

Estudiar si son derivables o en que dominio lo son, las siguientes funciones de variable compleja :

f(z) = z² ; f(z) = z/|z|² ; f(z) = x²y² + i•x²y²

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 21

Probar que:

Siendo para el segundo caso, {N} el conjunto de todos los números construidos de forma que no contienen ningún cero.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 22

Determínense las regiones de convergencia de las siguientes series:

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 23

Sean:

Y S’(z) la serie obtenida mediante derivación término a término de S(z). Dígase si S(z) y S’(z) convergen uniformemente en D(0,1)

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 24

¿En qué puntos del plano complejo es imaginario puro la función th z (th z = ia, siendo a real distinto de cero)?.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 25

Obtener la integral:

Donde C es el círculo considerado en el esquema adjunto.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 26

Dada la función:

u(x, y) = x² - y²

Encontrar f(z) que sea holomorfa.

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 27

Sea la función:

u(x, y) = ex(x•cos y - y•sin y)

Encontrar una función holomorfa f(z) cuya parte real sea u(x,y)

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Ejercicios de Variable compleja - enunciado del ejercicio 28

Ver si existe f’(0) para la función:

Y si se cumplen las condiciones de Cauchy –

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