Vibraciones Mecánicas con Amortiguamiento

Vibraciones Amortiguadas

Resumen- Este documento presenta el estudio realizado con respecto a los tres tipos de respuesta que se pueden obtener de un sistema masa-resorte-amortiguador, en este caso vibración con amortiguamiento crítico, sub amortiguado y sobre amortiguado, haciendo uso de la plataforma MATLAB – Simulink.

Palabras Clave- Vibración Amortiguada.

1. INTRODUCCIÓN

En realidad, la mayor parte de los sistemas de ingeniería encuentran, durante su movimiento vibratorio, fricción o resistencia en forma de amortiguamiento.  Si el amortiguamiento es fuerte, el movimiento oscilatorio no ocurrirá; se dice entonces que el sistema es sobre amortiguado. Si el amortiguamiento es poco y la oscilación es posible; se dice entonces que el movimiento es sub amortiguado. Un sistema críticamente amortiguado es aquel en el cual la cantidad de amortiguamiento es tal que el movimiento resultante está sobre la línea de límite de los dos casos anteriormente mencionados; es decir, que al poner en libertad la masa, ésta simplemente retornará a su posición de equilibrio estático. En la mayor parte de los problemas de vibraciones el amortiguamiento producido por el aire es tan pequeño que se desprecia, salvo para casos especiales.[1]

1. OBJETIVOS

Analizar el sistema presentado en la fig. 1, considerando que el bloque se encuentra en un plano exento de rozamiento, se desplaza 50 mm a la derecha a partir de su posición de equilibrio y se suelta a una velocidad inicial de 1.25 m/s hacia la izquierda cuando t=0.

[pic 1]

Fig. 1. Representación gráfica del sistema masar-resorte-amortiguador.

Identificar los tres tipos de respuesta los cuales son:

[pic 2]

 (1)[pic 3]

Donde:

: Factor de amortiguamiento[pic 4]

Cs: Coeficiente de amortiguamiento del sistema

m: masa

wn: frecuencia natural

1. DESARROLLO DE LAS ECUACIONES

Analizando el sistema se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

        (2)[pic 5]

(No se muestra el desarrollo previo de la ecuación ya que se cuenta con un curso de Dinámica con anterioridad)

Por lo tanto:

                (3)[pic 6]

        (4)[pic 7]

Resolviendo la Ec. 1 para obtener una ecuación general:

        (5)[pic 8]

Donde:

        (6)[pic 9]

Las constantes A y B de la Ec. 5 se definen por sus condiciones iniciales.

Sustituyendo la Ec. 6 en 5 se obtiene:

        (7)[pic 10]

Sustituyendo la Ec. 6 en la Ec 7, se tiene:

        (8)[pic 11]

El primer término  es simplemente una función de decrecimiento exponencialmente con el tiempo. El comportamiento de los términos entre paréntesis depende, sin embargo, de sí los valores numéricos dentro del radical son positivos, nulos o negativos.[pic 12]

Sí el término del amortiguamiento  es mayor que  , loes exponentes en la ecuación de arriba son números reales y no hay oscilaciones posibles. Nos referimos en este caso a sobre amortiguamiento.[2][pic 13][pic 14]

Sí el término esmenor que  , el exponente se vuelve imaginario ± , para ello se tiene la solución general en este caso:[pic 15][pic 16][pic 17]

        (9)[pic 18]

        (10)[pic 19]

        (11)[pic 20]

        (12)[pic 21]

        (13)[pic 22]

En donde:

 es la frecuencia de la amortiguación[pic 23]

 es el período de la amortiguación[pic 24]

 es la frecuencia de la amortiguación[pic 25]

( será menor que  porque  oscila entre 0 y 1) [pic 26][pic 27][pic 28]

Sustituyendo Ec. 8 en Ec. 6 y simplificando se tienen dos soluciones para este caso:

        (14)[pic 29]

        (15)[pic 30]

        (16)[pic 31]

        (17)[pic 32]

Los términos de la Ec. 13 dentro del paréntesis, son oscilatorios. Este es el caso sub amortiguado.

Como caso límite entre los dos, se define el amortiguamiento crítico como el valor de  que anula el radical de la Ec. 8.[pic 33]

1. INTRODUCCIÓN DEL SISTEMA A MATLAB- SIMULINK

[pic 34]

Fig. 2. Esquema de la Ec. 1 traducido al simulador.

En donde:

1. Sum: este enlaza las variables con las constantes y la señal de referencia, en este caso sería la que emite el valor del coeficiente de amortiguamiento entre la masa con la frecuencia natural del sistema elevada al cuadrado.

[pic 35]

Fig. 3. Sum

1. Integradores: son utilizados para referirse al grado de la ecuación y cada uno tiene su coeficiente, este caso se le introducirán las condiciones iniciales que se muestran en la fig. 5:

[pic 36]

Fig. 4. Integrador 1 y 2.

1. Condiciones iniciales: en el primer Integrador se colocarán la condición inicial de la velocidad y en el segundo Integrador se le colocara la condición de desplazamiento:

[pic 37]

Fig. 5. Condiciones Iniciales.

1. Gain1: este define el valor de  entre la masa y pertenece al coeficiente (X’):[pic 38]

[pic 39]

Fig. 6. Gain1.

1. Gain2: este define el valor de  y es el coeficiente de “X”.[pic 40]

[pic 41]

Fig. 7. Gain2.

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