Vision General De La Matematica

V i s i ó n g e n e r a l d e l a

m a t e m á t i c a .

A. D. Alexandrov

Instituto Tecnológico de La Paz.

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Índice

§ 1 Abstracciones, demostraciones y aplicaciones 3

1 Rasgos característicos de la matemática 3

2 Naturaleza esencial de la matemática 7

§ 2 Aritmética 8

1 El concepto de número entero 8

2 Relaciones entre los números enteros 10

3 Símbolos numéricos 12

4 La teoría de los números como una rama de la matemática 14

5 La naturaleza esencial de la aritmética 16

§ 3 Geometría 19

1 El concepto de figura geométrica 19

2 La naturaleza esencial de la geometría 21

§ 4 Aritmética y geometría 23

1 El origen de las fracciones en la interrelación de la aritmética y la geometría 23

2 Magnitudes inconmensurables 24

3 El Número real 26

4 El conflicto de los opuestos: lo concreto y lo abstracto 28

5 El conflicto de los opuestos: lo discreto y lo continuo 31

6 Otros resultados de la interacción de la aritmética y la geometría 33

§ 5 La era de la matemática elemental 34

1 Los cuatro períodos de la matemática 34

2 La matemática en Grecia 35

3 El Oriente Medio 38

4 La Europa del Renacimiento 40

§ 6 La matemática de las magnitudes variables 42

1 Variable y función 42

2 Geometría analítica y análisis 44

3 Cálculo diferencial e integral 47

4 Otras ramas del análisis 49

5 Aplicaciones del análisis 51

6 Examen crítico de los fundamentos del análisis 53

§ 7 La matemática contemporánea 54

1 El carácter avanzado de la matemática actual 54

2 Geometría 55

3 Álgebra 56

4 Análisis 57

5 Análisis funcional 58

6 El cómputo matemático y la lógica matemática 59

7 Rasgos característicos de la matemática moderna 61

Visión general de la matemática

Una adecuada presentación de cualquier ciencia no puede consistir sólo en información detallada, aunque sea extensa; debe también dar una visión propia de la naturaleza esencial de la ciencia en conjunto. El objeto del presente capítulo es dar un cuadro general de la naturaleza esencial de la matemática. Para ello no hay necesidad de entrar en detalles de teorías matemáticas recientes, puesto que la matemática elemental y la historia de la ciencia ya proporcionan base suficiente para obtener conclusiones generales.

§ 1. Rasgos característicos de la matemática.

1. Abstracciones, demostraciones y aplicaciones

Incluso con un conocimiento superficial de la matemática, es fácil reconocer ciertos rasgos característicos: su abstracción, su precisión, su rigor lógico, el irrefutable carácter de sus conclusiones y, finalmente, el campo excepcional de sus aplicaciones.

Es fácil reconocer el carácter abstracto de la matemática. Operamos con números abstractos sin preocuparnos de cómo relacionarlos en cada caso a objetos concretos. En la escuela se estudia la tabla abstracta de multiplicar, esto es, una tabla para multiplicar un número abstracto por otro, no un número de muchachos por un número de manzanas o un número de manzanas por el precio de una manzana.

De modo similar, en geometría consideramos, por ejemplo, líneas rectas y no hilos gruesos, llegándose al concepto de línea geométrica por abstracción de todas las propiedades excepto la extensión en una dirección. En general, el concepto de figura geométrica es el resultado de la abstracción de todas las propiedades de un objeto exceptuadas su forma espacial y dimensiones.

Abstracciones de esta clase son características en toda la matemática. Los conceptos de números y de figuras geométricas son solo dos de sus primeros y más elementales ejemplos, seguidos luego por muchos otros, demasiado numerosos para describirlos, y que tienen que ver con abstracciones tales como números complejos, funciones, integrales, diferenciales, funcionales, espacio n-dimensionales e incluso espacios de infinitas dimensiones, etcétera. Estas abstracciones apoyadas unas en otras, han alcanzado tal grado de generalización que pierden aparentemente toda conexión con la vida diaria, y el hombre medio no entiende nada de ellas salvo el simple hecho de que «todo esto es incomprensible».

La realidad, naturalmente, no es esa en absoluto. Aunque el abstracto, todavía tiene un contenido completamente real, que no es muy difícil de entender. En este texto nuestro propósito será el de dar a conocer y aclarar el contenido concreto del concepto abstracto tales como los ya mencionados, de modo que el lector pueda convencerse por sí mismo de que todo ello esta relacionado con la vida real, tanto en su origen como en sus aplicaciones.

Pero la abstracción no es algo exclusivo de la matemática; es característica de toda ciencia, incluso de toda actividad mental en general. Consecuentemente, la abstracción de los conceptos matemáticos no proporciona por sí misma una descripción del carácter peculiar de la matemática.

Las abstracciones de la matemática se distinguen por tres rasgos. En primer lugar, tratan fundamentalmente de las relaciones cuantitativas y formas espaciales, abstrayéndolas de todas las demás propiedades de los objetos. En segundo lugar, aparecen en una sucesión de grados de abstracción creciente, llegando mucho más lejos en esta dirección que en la abstracción en las demás ciencias. Más tarde ilustraremos estas dos cualidades en detalle, empleando como ejemplo las nociones fundamentales de números y figuras. Finalmente, y esto es obvio, la matemática como tal se mueve casi por completo en el campo de los conceptos abstractos y sus interrelaciones. Mientras el científico de la naturaleza experimenta constantemente para demostrar sus aseveraciones, el matemático emplea sólo razonamiento y cálculos.

Es cierto que los matemáticos también hacen constante uso –como ayuda en el descubrimiento de teoremas y métodos- de modelos y analogías físicas, y que recurren con frecuencia a ejemplos bien concretos. Estos constituyen la fuente real de la teoría y un medio de descubrir teoremas; pero ningún teorema pertenece definitivamente a la matemática hasta que no ha sido rigurosamente demostrado por un razonamiento lógico. Si un geómetra diese cuenta de un teorema recientemente descubierto mediante simples modelos y se limitara a tal demostración, ningún matemático admitiría que el teorema había sido probado. La necesidad de demostrar los teoremas es ya normal en

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