Planos, Paralelismo y Ángulos

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Nacional Experimental Rómulo Galleos

“Semestre 2” – “Sección 2”

Ing. Civil

Planos, Paralelismo y Ángulos

Facilitador:                                                                Integrantes:

Marta Correa                                                Castillo Pablo C.I. 26848770

Ceballos Carla C.I. 26495430

Ramírez Marcos C.I. 28012196

San Juan de los Morros 4 de Diciembre del 2017

DESARROLLO

Planos

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas.

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Relación entre Punto Recta y Plano

La relación que existe entre estos tres conceptos es que un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.

De ésta forma, podemos decir que un plano se realiza mediante la proyección de puntos y rectas.

Posiciones Relativas entre:

• Recta y Recta: Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

1. Secantes: Son las rectas cortadas entre sí en un punto.
2. Paralelas: Son las rectas que no se intersectan en ningún punto
3. Coincidentes: Son las rectas que tienen todos los puntos en común

Para conocer la posición relativa de dos rectas en el espacio estudiamos el rango de las matrices de coeficientes y ampliada, asociadas al sistema que se forma con las ecuaciones generales de las rectas. Así se presentan los siguientes casos:

• Caso 1. El rango de la matriz de coeficientes y ampliada es 3 =>Las rectas son incidentes en un punto.
• Caso 2. El rango de la matriz de coeficientes es 3 y ampliada es 4 =>Las rectas se cruzan.
• Caso 3. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 2 =>Las rectas son coincidentes.
• Caso 4. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 3=>Las rectas son paralelas.[pic 1]

• Recta y Plano: Para conocer la posición relativa de una recta y un plano estudiamos el rango de las matrices de coeficientes y ampliada, asociadas al sistema que se forma con las ecuaciones generales de la recta y el plano. Así se presentan los siguientes casos:

• Caso 1. El rango de la matriz de coeficientes y ampliada es 3 =>La recta y el plano son incidentes en un punto que es la solución del sistema.
• Caso 2. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 3 =>La recta y el plano son paralelos.
• Caso 3. El rango de la matriz de coeficientes es 2 y ampliada es 2 =>El plano contiene a la recta.

• Dos Planos: Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

• Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
• Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
• Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Paralelismo

En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, entre otros). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes.

Teoremas de rectas paralelas cortadas por transversales

Cuando dos rectas son cortadas por una secante, ellas forman ocho ángulos, como muestra la imagen. Los cuatro ángulos comprendidos entre las dos rectas se llaman internos o interiores, ellos son m, n, p, q. los otros cuatro ángulos se llaman externos o exteriores, que son: m’, n’, p’, q’.

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