TALLER CONTABILDAD III PATRIMONIO
Enviado por Aabril22 • 2 de Septiembre de 2015 • Apuntes • 3.112 Palabras (13 Páginas) • 181 Visitas
TALLER CONTABILDAD III PATRIMONIO | ||||
Derivada Definición La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Derivada en el punto a Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a: f(x) - f(a) f'(a) = lim ----------- x->a x - a Función derivada La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x. Teorema Si una función es derivable, entonces es continua. Demostración: Por hipótesis, existe f(x) - f(a) lim ---------- x->a x - a => existe f(a) (1) lim f(x) = lim f(x) - f(a) + f(a) = x->a x->a f'(a) por H) ------^------ 0 (f(x) - f(a)) --^-- lim -------------(x - a) + f(a) = f(a) (2) x->a x - a De 1) y 2): existe f(a) y limx->af(x)=f(a) => por definición de continuidad, f es continua en x=a. El recíproco no es cierto. Una función puede ser continua en un punto pero no derivable. Cualquier curva con una esquina o vértice en un punto no posee ahí una tangente. Esos puntos se llaman singulares, y esas funciones, funciones singulares.
Ilustraciones
[pic 2]
[pic 3] Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo. Entonces limP'->P α' = α Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene: f(x) - f(a) cateto opuesto tan α' = ----------- ( ---------------- ) x - a cateto adyacente Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación: f(x) - f(a) tan α = lim tan α' = lim ----------- x->a x->a x - a A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a) Aplicaciones de las derivadas
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. [pic 4] [pic 5] ECUACION DE LA RECTA TANGENTE: La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es a f1 (a). Y- F(a)= f1(a) (x-a) PROBLEMA: Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2) hallar el punto de tangencia.
F1 (x)= 3x2 f1 (a)= 3a2 3a2=3 a=+-1
a=1 f(a)=1 Y-1= 3(x-1) y= 3x-2 a= -1 f(a)= -1 y+1= 3(x+1) y= 3x + 2
Solución: el punto de tangencia será (1,1)
Crecimiento Si f es derivable en a: F es estrictamente creciente en a = f1 (a) > 0 Decrecimiento Si f es derivable en a: F es estrictamente creciente en a = f1 (a) < 0 Calculo de los intervalos de crecimientos y decrecimientos Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: F(x) = x3 – 3x + 2 Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
F1 (x) = 3x2 -3
3x2-3 = 0 x= -1 x= 1
[pic 6]
Si f1 (x) > 0 es creciente Si f1 (x) < 0 es decreciente Del intervalo (-∞, -1) tomamos x= -2 F1 (-2) = 3 (-2)2 -3 > 0 Del intervalo (-1,1) tomamos x =0 F1 (0) = 3(0)2 -3 < 0 Del intervalo (1, ∞) tomamos x= 2 F1 (0) = 3(2)2 -3 > 0 [pic 7]
De crecimiento: (−∞, -1) u (1, ∞) De decrecimiento: (-1,1) 3. MAXIMOS Y MINIMOS Máximos Si f y f1 son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
Minimos Si f y f1 son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
Calculo de los máximos y mínimos relativos F(x) = x3 – 3x + 2
F1 (x) = 3x2 – 3 = 0 X= -1 x=1
F 1 1 (x) >0 tenemos un mínimo. F 1 1 (x) < 0 tenemos un máximo. F 1 1 (x) = 6x F 1 1 (-1) = -6 máximo F 1 1 (1) = 6 mínimo
F (-1) = (-1)3 – 3 (-1) + 2 = 4 F (1) = (1)3 – 3 (1) + 2 = 0 Solución: Máximo: (-1,4) mínimo (1,0) Ejemplos Si una empresa tiene un ingreso de $30 000 durante un mes de 30 días, su ingreso promedio por día es de $30 000/30 = $ 1000, esto no significa necesariamente que el ingreso real fue de $1000 en cualquier día, solo que el promedio es de $1000 por día. Otro ejemplo sencillo es: Si una persona conduce un automóvil 50 millas en una hora, la velocidad promedio del automóvil es de 50 millas por hora, pero es probable que el conductor haya recibido una multa por manejar a 70 millas por hora en su viaje FORMULAS DE LA DERIVACIÓN Derivada de f(x)=si podemos usar la definición de derivada para mostrar lo siguiente[: Si f(x) = X^2 entonces f´ (x) = 2x Si f(x) = X^3 entonces f´ (x) = 3x^2 Si f(x) = X^4 entonces f´ (x) = 4x^3 Si f(x) = X^5 entonces f´ (x) = 5x^4 REGLAS REGLA DE LAS POTENCIAS DE X Si f(x)= x^n, donde n es un número real entonces f´(x)=nx^n-1. REGLA DE LA FUNCION CONSTANTE Si f(x)= C, donde c es una constante, entonces f´(x)=0. REGLA DEL COEFICIENTE Si f(x)= c . u(x), donde c es una constante y u(x) es una función diferenciable de x entonces f´(x)= c . u´ (x). REGLA DE LA SUMA Si f(x)= u(x) + v(x), donde u y v son funciones diferenciables de x entonces f´(x)= u´ (x) + v´(x). REGLA DE LA DIFERENCIA Si f(x)= u(x) - v(x), donde u y v son funciones diferenciables de x entonces f´(x)= u´ (x) - v´(x). INGRESO MARGINAL Suponga que la función de ingreso para un producto esta dada por
R(x) = 10x + ____100x______ 3x + 5 Donde x es el número de unidades vendidas y R se da en Dolares
SOLUCIÓN
___ ___(3x+5)(100)-100x(3)____ MR = R´(x) = 10 + (3x+5)^2 ___300x+500-300x____ ___ 500___ = 10 + (3x+5)^2 = 10 + (3x+5)^2
____500____ = 10 + __500__ R´(15) = 10 + [(3)(15)+5]^2 (50)^2 = 10 + __500__= 10.20 (dólares por unidad) 2500 Recuerde que R´ (15) es un estimado del ingreso por la venta del articulo 16. GANANCIA MARGINAL Al igual que el costo marginal y el ingreso marginal, la derivada de una función de ganancia para una mercancía nos dará la función de ganancia marginal de la misma. Si P = P(x) es la función de ganancia para una mercancía , entonces bla función de la ganancia marginal es MP = P’(x) Si la ganancia total , en miles de dólares, de un producto se obtiene por medio de P(x)-= 20√x+1-2x, ¿ cual es la ganancia marginal para un nivel de producción de 15 unidades? SOLUCION. La función de ganancia marginal es MP = P (x) = 20. ½(x+1) – ½ - 2 = 10/√x+1 -2
Si se producen 15 unidades la ganancia marginal es; P’ (15) =10/√15+1 -2= ½ Esto significa que la ganancia por la venta de la unidad 16 es de aproximadamente ½ (miles de dólares), o 500. COSTO MARGINAL Si C = C(x) es una función de costo total para una mercancía, entonces su derivada MC = C’(x), es la función de costo marginal. La función lineal de costo con ecuación C(x) = 300 +6x (en dólares) Tiene un costo marginal de $6 por unidad porque su pendiente es 6. Al tomar la derivada de C(x) se obtiene MC = C’(x) = 6 Lo cual corrobora que el costo marginal es de $6 por unidad en todos los niveles de producción, la función de costo. C(x) = 1. 000 +6x + x^2 Tiene la derivada C’(x) = 6+2x Por lo tanto el costo marginal en x = 10(cuando se producen 10 unidades) es C’ (10)= 6 +2 (10)= 26 dólares por unidad Y el costo marginal en 40 unidades es C’ (40) =6+2(40)= 86 dólares por unidad. BIBLIOGRAFIA
Ernest F. Haeussler Jr. Richard S. Paul Richard J. Wood
Septima edición Mc-Graw Hill HARSHBARCHER REYNOLDS
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