El Vector Proyección

En una playa se tiene practicando a un bañista practicando esquí-acuático para ello es jalado por dos motos acuáticas. Si la fuerza resultante es 200 N, dirigida a lo largo del movimiento del bañista. Hallar la tensión en cada una de las cuerdas.

Resolución:

Haciendo el D.L.P.:

Por ley de senos:

T1/(Sen 45)=T2/(Sen 53)=T3/(Sen 82)

T1=(sen45×200)/sen82=142.81N

T1=(sen53×200)/sen82=161.30 N

Ejemplo1.2

Dados los valores A ⃗=30J y B ⃗=12j-2.se desea saber que angulo forman con sentido positivo del eje XY.

RESOLUCION:

Utilizaremos el producto escalar

¯AׯB=|A ⃗ ||B ⃗ | cos⁡θ

cos⁡θ1=(¯AׯB)/|A ⃗ ||B ⃗ | =((30J)(J))/((30)(1))=30/30

cos⁡θ1=1 Arc cos⁡〖1=0〗

cos⁡θ2=((-12j-24k)(J))/((√(144+576))(1))=-12/26.8

cos⁡θ2=-0.047 Arc cos⁡〖-0.047=63° 26´〗

cos⁡θ2=-0.894 Arc cos⁡〖-0.894=26° 34´〗

Como el seno y coseno son negativos, el ángulo θ2 de estar en el tercer cuadrante

θ2=63° 26´+180 =243°26´

Ejemplo1.3

Tres ejes arbitrarios forman ángulos de 30° , 20° y 50° con una fuerza que tiene una intensidad de 480 kls. Determine las componentes de esta fuerza según los ejes arbitrarios

Resolución:

Pues que no se conoce la dirección y sentido de la fuerza ni de los ejes arbitrarios respecto a los ejes cartesianos es preferible usar el módulo escalar.

F1=480cos20

F2=480cos20

F2=415 kls.

F3=480cos50

F3=307 kls.

Si se conocieran las direcciones de las componentes se podrían hallar de la manera siguiente:

|(F1) ⃗ |=((L1) ̅.F ̅)/|(L1) ̅ | =480 cos20°

Ejemplo1.4

Calcule el vector proyección del vector sobre la recta que pasa por los punto P y Q de coordenadas (8,1,0) y (2,0,9)

A ⃗=5(-i+j-k)Tn

RESOLUCION:

Hallamos el vector unitario entre los puntos P y Q utilizaremos el producto escalar

(e pq) ̅=(-6i-j+9k)/√118=(-6i-j+9k)/10.86

La proyección será:

(A ̅.(PQ) ̅)/|(PQ) ̅ | =|A ̅ |cosθ=A ̅.(e pq) ̅

Acosθ=(-5i+5j-5k)(-6i-j+9k)/10.86=1.84 Tn

cos⁡〖θ=1.84/5〗=0.368 θ=68°25´

Ejemplo1.5.

Determine un vector de módulo 2000 lb perpendicular al vector C ̅ resultante de A ̅×B ̅ y paralelo al vector B ̅

A ̅=2i-6j-3k

B ̅=4i-3j+2k

RESOLUCION:

A ̅×B ̅=(2i-6j-3k)×(4i-3j+2k)

C ̅=-21i-16j+18k

Mediante el producto escalar se puede comprobar que el vector C ̅ es perpendicular a los vectores( A) ̅ y B ̅

(A.) ̅C ̅=(2i-6j-3k).(-21i-16j+18k)=0

(B.) ̅C ̅=(4i-3j+2k).(-21i-16j+18k)=0

Calculamos el vector unitario C ̅

(eb) ̅=(4i-3j+2k)/√29=0.743i-0.557j+0.371k

Entonces

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