Ensayo Comun

1. Dado x, y ∈ R, donde x < y y z > 0, demuestre que xz > yz.

Demostraci´on:

Sumando en ambos lados el inverso aditivo de x tenemos:

entonces 0 < y − x, ya que el producto de nu´meros positivos es positivo, tenemos que:

lo cual implica 0 < yz − xz. Sumando en ambos lados de la desigualdad xz tenemos que:

xz < yz

siendo esto lo que se quer´ıa demostrar.

2. Demuestre que para cualquier x, y, z, w ∈ R tales que 0 < x < y y 0 < z < w entonces

xz < yw.

Demostraci´on:

Aplicando el ejercicio 1 a x < y y z > 0 tenemos que:

(1) Del mismo modo aplicando el ejercicio 1 a z < w y y > 0 vemos que:

(2) De las desigualdades (1) y (2) obtenemos:

de esto concluimos que xz < yw.

3. Demuestre por inducci

n matema´tica que dados x, y ∈ R tales que 0 < x < y, demostrar

que xn < yn para cualesquiera n ∈ N.

Demostraci´on:

i) Paso b´asico: Aplicando el ejercicio 2 para 0 < x < y y 0 < x < y tenemos que:

por la cerradura de los nu´meros positivos tenemos que:

por lo tanto cumple para n = 2.

1

ii) Hip´otesis de inducci

n: Supongamos que cumple para n = k, es decir, si 0 < x < y

entonces 0 < xk < yk .

iii) Paso inductivo: Ahora debemos demostrar bajo la hip´otesis anterior que 0 < xk+1 <

yk+1. Para esto aplicamos el ejercicio 2 a 0 < x < y y a 0 < xk < yk , obteniendo:

siendo esto lo que se buscaba. Por lo tanto por inducci

n matema´tica xn < yn para

todo n ∈ N

4. Resolver la ecuaci´on x + |2x − 5| = 1 + |x|

Solucio´n:

Por definici

n tenemos que:

|x| =

x x ≥ 0

−x x < 0

|2x − 5| =

2x − 5 2x − 5 ≥ 0

−2x + 5 2x − 5 < 0

Ahora despejando 2x − 5 ≥ 0 tenemos que x ≥ 5 , del mismo modo para 2x − 5 < 0

obtenemos x < 5 . De esto se deduce que:

|2x − 5| =

2x − 5 x ≥ 5/2

−2x + 5 x < 5/2

Ahora dividiendo el problema por casos tenemos que si x < 0 entonces:

x − 2x + 5 = 1 − x

x − 2x + x

−4 =

= 1 − 5

0

lo cual es una contradicci´on, por lo tanto no hay soluciones para x < 0. Ahora para

x ∈ [0, 5 ) vemos que:

x − 2x + 5 = 1 + x

x − 2x − x

−2x x =

=

= 1 − 5

−4

2

entonces la ecuaci´on cumple para x = 2. Tomando x ≥ 5

vemos que:

2

por lo que x = 3 es soluci´on para la ecuaci´on. Por lo tanto las

u´nicas soluciones son

x =

5. Resolver la desigualdad 0 ≤ x2 − x − 12.

Solucio´n:

Para esto resolvemos primero x2 − x − 12 = 0 por la f´ormula cuadratica, es decir:

√ 2

x = −b ±

b − 4ac

2a

Para este caso tenemos a = 1, b = −1 y c = −12, sustituyendo tenemos:

−(−1) ± p(−1)2 − 4(1)(−12)

2

por lo tanto las soluciones son x = −3, 4. Evaluando x2 − x − 12 para x = −4 tenemos:

2

(−4)

− (−4) − 12 = 16 + 4 − 12 = 8 > 0

por lo tanto x2 − x − 12 > 0 para x ∈ (−∞, −3). Ahora evaluando en x = 0 tenemos que:

02 − 0

...