Intuitivamente pensamos en R como la "recta real", todo punto sobre la recta corresponde a un número real.

Los números reales

Los números reales

Intuitivamente pensamos en R como la "recta real", todo punto sobre la recta corresponde a un número real.

Cuerpo

El sistema de los números reales es un conjunto provisto de dos operaciones la adición y la multiplicación, y cumplen las siguientes propiedades:

• La adición es asociativa: para todo a,b,c∈R

(a+b)+c=a+(b+c)

• La adición es conmutativa: para todo a,b,c∈R

a+b=b+a

• Existe un elemento neutro, denotado por 0∈R, tal que, para todo a∈R

a+0=a

• Para todo a∈R, existe un número b∈R, llamado opuesto, tal que

a+b=0

El elemento opuesto de a se denota −a.

• La multiplicación es asociativa: para todo a,b,c∈R

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

• La multiplicación es conmutativa: para todo a,b,c∈R

a⋅b=b⋅a

• Existe un elemento neutro para la multiplicación, denotado por 1∈R, tal que para todo a∈R.

a⋅1=a

• Para todo a∈R diferente del 0, existe un número b∈R, llamado inverso, tal que

a⋅b=1

El elemento inverso de a se denota por: 1a o a−1

• La multiplicación es distributiva para la adición. Para todo a,b,c∈R

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

Relación de orden

El sistema de los números reales es un conjunto ordenado por la relación ≤ que tiene las siguientes propiedades:

• La relación de orden es:

• Reflexiva: para todo a∈R, se tiene a≤a.

• Transitiva: Dados a,b,c∈R, con a≤b y b≤c se tiene a≤c.

• Antisimétrica: Dados a,b∈R con a≤b y b≤a, se tiene a=b.

• Si a≤b, entonces a+c≤b+c, para todo c∈R.

• Si 0≤a,b entonces 0≤a⋅b.

Una consecuencia importate de este resultado es:

• Si a≤b y 0≤c, entonces a⋅c≤b⋅c.

• Si a≤b y c≤0, entonces b⋅c≤a⋅c.

• Para todo par de números a y b se cumple uno de los siguientes enunciados.

a=0 ó a<b ó b<a

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número, que es denotado por |a| cumple:

|a|={a si a≥0−a si a<0

algunas veces |a| es llamada la magnitud de a. Geométricamente, |a| es simplemente la distancia de a a 0.

Teorema.

Si a y b son dos números reales entonces

|a+b|≤|a|+|b|

Axioma de completitud para los reales

El conjunto de los números racionales Q es también un cuerpo ordenado. Es el axioma de completitud el nos da la diferencia esencial entre Ry Q.

Supremo de un conjunto

Un conjunto S de números reales es acotado superiormente si existe un número b∈R tal que x≤b para todo x∈S. En este caso b es una cota superior de S.

Si β es una cota superior de S y no existe un elemento más pequeño que β que sea una cota superior, entonces β es el supremo de S y se escribe:

β=supS

Geométricamente esto significa que: β=supS si ningún punto de S esta a la derecha de β y existe al menos un punto de S a la derecha de cualquier número menor que β.

Teorema.

Si un conjunto no vacío S de números reales esta acotado superiormente, entonces supS es el único número real β tal que:

• x≤β para todo x∈S

• Si ϵ>0, entonces existe un x0∈S tal que x0>β−ϵ.

La definición de supremo no indica que supS∈S. Es posible que el conjunto acotado superiormente no contenga a su supremo.

Ínfimo de un conjunto

Un conjunto S de números reales es acotado inferiormente si existe un número b∈R tal que b≤x para todo x∈S. En este caso b es una cota inferior de S.

Si α es una cota inferior de S y no existe un elemento más grande que α que sea una cota inferior, entonces α es el ínfimo de S y se escribe:

α=infS

Geométricamente esto significa que: α=infS si ningún punto de S esta a la izquierda de α y existe al menos un punto de S a la izquierda de cualquier número mayor que α.

Teorema.

Si un conjunto no vacío S de números reales esta acotado inferiormente, entonces infS es el único número real α tal que:

• α≤x para todo x∈S

• Si ϵ>0, entonces existe un x0∈S tal que x0<α+ϵ.

La definición de ínfimo no indica que infS∈S. Es posible que el conjunto acotado inferiormente no contenga a su ínfimo.

Axioma de completitud

1. Si un conjunto no vacío de números reales es acotado superiormente, entonces tiene un supremo.

2. Si un conjunto no vacío de números reales es acotado inferiormente, entonces tiene ínfimo.

Propiedad Arquimediana

Esa propiedad indica que es posible exceder cualquier número positivo, sin importar que tan grande sea el número, adicionando un número positivo arbitrario, sin importar que tan pequeño sea.

Teorema

Si x y ϵ son positivos, entonces n⋅ϵ>x para algún entero n.

Para todo entero positivo n, definimos la n−esima raíz de x≥0, denotado por x1n.

x1n=∑{y∈R | 0≤y, yn≤x}

Densidad de racionales e irracionales

Definición.

Un conjunto D es denso en los reales si cualquier intervalo abierto (a,b) contiene un elemento de D.

Teorema

El conjunto de números racionales es denso en los reales; es decir si a y b son números reales con a<b, entonces existe un número racional p/q tal que a<pq<b.

Los enteros naturales

El conjunto de los naturales N

La aritmética es el estudio de las propiedades de los enteros naturales.

El conjunto N de enteros naturales es el conjunto fundamental a partir del cual se han construido las matemáticas, admitiremos la existencia de este conjunto así como las tres propiedades que lo caracterizan:

• El conjunto N es un conjunto bien ordenado que admite el entero

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