Como se da la Historia gnoseológica del desarrollo del cálculo infinitesimal

Historia y desarrollo del cálculo: de la cuadratura al método de fluxiones           Urko Gorriñobeaskoa Artolozaga

Índice:                                                                                                                               1. Introducción                                                                                                                1                                                                                                2. La cuadratura en Grecia                                                                                                 2                                                                                            3. El cálculo en la Edad Moderna                                                                                      5                                                                            4. Newton, binomios y fluxiones                                                                                       8                                                                         Bibliografía                                                                                                                      11

Resumen: En este artículo, realizamos un recorrido histórico del desarrollo del cálculo desde la Grecia Clásica hasta el siglo XVII. Comenzamos analizando la geometría griega, los problemas de áreas y el método de cuadratura de distintas figuras, centrándonos en las dificultades planteadas por las figuras curvas. Continuamos con la matemática musulmana medieval, el surgimiento del álgebra y la aritmetización de la matemática. En la Edad Moderna vemos nuevas soluciones algebraicas al problema del cálculo de áreas en figuras curvas, resolvemos áreas para cicloides y funciones específicas, pero se plantea el problema del cálculo de áreas definidas por funciones de exponente fraccionario. Finalmente, analizaremos las aportaciones de Newton y su solución al problema de las áreas en contraste con el simultaneo trabajo de Leibniz.

Palabras clave: Cuadratura, infinitesimal, áreas de curvas, fluxión, geometría euclidiana, mecánica, binomio.

1. Introducción

El presente escrito constituye tan sólo una pequeña parte de lo que será mi Trabajo de Fin de Grado. El trabajo completo es potencialmente más extenso y profundo que todos los temas tratados aquí y, por mor de la brevedad, me limitaré a esbozar de pasada algunos epígrafes que formaran parte del trabajo final. Mi tesis principal a defender será acerca de la fuerte implicación del desarrollo del cálculo en la revolución científica del s. XVII y en la posterior conceptualización de ciencia moderna. Sin embargo, aquí solamente trataré temas concernientes a la historia gnoseológica del cálculo y a su íntima relación con los problemas de cuadratura en la Antigua Grecia, recalcando cómo el germen del cálculo infinitesimal se encontraba en la cuadratura del círculo griega.

1. La cuadratura en Grecia

Si bien gran parte del conocimiento histórico de la matemática griega durante el periodo clásico no ha llegado hasta nuestros días, sabemos que la matemática en Grecia era fundamentalmente estática y geométrica. Esto se debe en gran medida al problema de la inconmensurabilidad, que es el problema de que la razón (a/b) de dos números reales resulte en un número irracional, ‘unido a las inconsistencias derivadas de componer el continuo de unidades discretas’^[1]. Siendo así, uno de los ejercicios geométricos que más problemas suscitaba entre los matemáticos de la época era el de la cuadratura. La cuadratura de una figura consiste en el trazado de un cuadrado de área igual a la figura dada. La cuadratura de un polígono resulta de una serie de procedimientos geométricos sencillos, los cuales redacta Euclides detalladamente en su obra Elementos (ca. 300 a. C.)

     Euclides, en la proposición 45 del libro primero de Elementos, recoge el procedimiento a seguir para hallar un paralelogramo de área igual a una figura rectilínea cualquiera. Esto es, el procedimiento por el cual construir un rectángulo en base a un polígono cualquiera. Más adelante, en la proposición 14 del libro segundo, explica cómo hallar un cuadrado de área igual al rectángulo obtenido anteriormente. Aplicando ambos procedimientos es posible obtener la cuadratura de cualquier figura rectilínea o polígono dado. A su vez, postula una serie de pasos a seguir, los cuales serán suficientes para la demostración geométrica de cualquiera de las proposiciones recogidas en el libro. Estos pasos consisten en trazar líneas que unan dos puntos y prolongarlas, describir circunferencias de radio y centro arbitrarios e intersecar figuras^[2]. Además, todos los pasos deben poder realizarse con la única ayuda de una regla y un compás.

     Para cuadrar el rectángulo ABCD (figura 1) se debe prolongar AB hasta E de tal manera que BE = BD. Después, se traza una semicircunferencia con centro O, situado en el punto medio de AE, desde A hasta E. Se prolonga el segmento BD hasta que interseque con la circunferencia en F. El segmento BF es el lado del cuadrado de área igual al rectángulo ABCD. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

     Aunque el procedimiento geométrico para la cuadratura de un rectángulo resulta sencillo, más difícil es hallar cuadrados de área igual a segmentos de parábolas y a otras figuras curvilíneas.

     La cuadratura del círculo resultó ser un problema de tal magnitud para los geómetras griegos y la matemática en general que no fue resuelto hasta bien entrado el siglo XIX. De hecho, Ferdinand Lindemann probó en 1882 la imposibilidad de cuadrar el círculo por procedimientos geométricos, debido a que ‘π no satisface ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros’^[3]. Sin embargo, años más tarde, el matemático y lógico Alfred Tarski demostraría que la cuadratura del círculo es teóricamente plausible acudiendo a la división del círculo en infinitas piezas poligonales, aunque ‘en su demostración el número de piezas en las que hay que dividir el círculo es del orden de 1050.^[4]

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