Calculo Infinitesimal

Axiomas para los Nu´meros Reales.

Suponemos la existencia de una cu´adrupla (R,+,·,<) en la cual:

1. R es un conjunto,

2. + y · son funciones de R × R → R,

3. < es una relaci´on en R,

que satisfacen los trece axiomas que listaremos a continuaci´on:

Axiomas para la Suma. i) Conmutatividad. Para todo a y b en R, a + b = b + a.

ii) Asociatividad. Para todo a,b y c en R, (a + b) + c = a + (b + c).

iii) Existencia del Elemento Identidad. Existe un elemento 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a para todo a ∈ R.

iv) Existencia de Elemento Inverso. Para todo a ∈ R, a 6= 0, existe un elemento −a ∈ R tal que −a + a = 0.

En lenguaje algebraico estos cuatro axiomas dicen que (R,+) es un grupo abeliano. A partir de estos axiomas podemos obtener otras propiedades de los nu´meros reales. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.1 (Ley de cancelaci´on para la suma) Si a,b y c est´an en R y a + b = a + c entonces b = c. Demostraci´on. Por (iv) existe el elemento inverso −a ∈ R y entonces

−a + (a + b) = −a + (a + c) por lo tanto (−a + a) + b = (−a + a) + c por (ii) de donde 0 + b = 0 + c por (iv) y en consecuencia b = c por (i) y (iii)

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1.2. AXIOMAS PARA LOS N´UMEROS REALES. 3

Ejercicios 1.1 1. Usando los axiomas (i)-(iv) demuestre lo siguiente

a) Si a + b = 0 entonces b = −a. b) −(−a) = a. c) −(a − b) = b − a. Por lo tanto −0 = 0. d) Si para algu´n a ∈ R,a + b = a, entonces b = 0.

Axiomas para la Multiplicaci´on. v) Conmutatividad. Para todo a y b en R, a · b = b · a.

vi) Asociatividad. Para todo a,b y c en R, (a · b) · c = a · (b · c).

vii) Existencia del Elemento Identidad. Existe un elemento 1 ∈ R,1 6= 0 tal que a · 1 = a para todo a ∈ R.

viii) Existencia de Elemento Inverso. Para todo a ∈ R, a 6= 0, existe un elemento a−1 ∈ R tal que a · a−1 = 1.

Observamos que estos axiomas son similares a los cuatro iniciales. En efecto, si reemplazamos R por R◦ = R \ {0} y + por · en (i) - (iv) obtenemos (v) - (viii) para (R◦,·), lo cual muestra que este par es un grupo abeliano. Como consecuencia, cualquier resultado que demostremos para (R,+) se traduce en un resultado relativo a (R◦,·). As´ı, el ejemplo 1.1 nos dice que: Si a,b y c est´an en R◦ y a · b = a · c entonces b = c.

El pr´oximo axioma expresa una relaci´on entre la suma y la multiplicaci´on: ix) Distributividad. Para a,b y c en R, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

En lenguaje algebraico, los axiomas (i) - (ix) dicen que (R,+,·) es un Cuerpo.

Ejercicios 1.2 1. Usando los axiomas (i)-(ix) demuestre lo siguiente

a) Si a 6= 0 y ab = ac, entonces b = c. b) 0 · a = 0 para todo a ∈ R. c) Si ab = 0 entonces a = 0 o´ b = 0. d) Si a 6= 0 entonces a−1 6= 0 y (a−1)−1 = a. e) Si ab 6= 0 entonces a 6= 0,b 6= 0 y (ab)−1 = a−1b−1. f) (−1) · a = −a. g) (−a) · b = −ab.

4 CAP´ITULO 1. LOS N´UMEROS REALES

h) (−a) · (−b) = ab.

2. Considere un sistema con dos elementos α y β y las siguientes reglas de suma y multiplicacio´n

α + α = α, α + β = β, β + α = β, β + β = α, α · α = α, α · β = α, β · α = α, β · β = β.

Demuestre que este sistema forma un cuerpo. 3. Considere los nu´meros de la forma a+b √ 6 donde a y b son racionales. ¿Satisface este conjunto los axiomas de un cuerpo?

Axiomas para la Relaci´on de Orden. x) Para cualquier a ∈ R es cierta una sola de las siguientes posibilidades:

a < 0, a = 0, 0 < a.

xi) Si a y b est´an en R, 0 < a, 0 < b entonces 0 < a + b y 0 < a · b.

xii) Para a y b en R, a < b si y s´olo si a − b < 0.

Si a < b tambi´en escribimos b > a. La relaci´on ≤ se define por a ≤ b si y s´olo si a < b ´o a = b. Los axiomas (x) y (xii) dicen que < es un orden lineal y (xi) relaciona el orden < con las funciones + y ·.

Definici´on 1.1 Para cualquier a ∈ R, el m´odulo o valor absoluto |a| se define como sigue:

|x| =

( x, si x ≥ 0, −x, si no.

Ejercicios 1.3 1. Usando los axiomas (i)-(xii) demuestre lo siguiente:

a) Para cualesquiera a,b,c en R, a < b y b < c implican a < c; a ≤ b y b ≤ c implican a ≤ c; es decir, las relaciones < y ≤ son transitivas. La relaci´on ≤ es reflexiva (a ≤ a) mientras que < no lo es. b) Si a y b esta´n en R, a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. c) Si a,b y c est´an en R y a > b, entonces a + c > b + c; si c > 0 entonces ac > bc; si c < 0 entonces ac < bc. d) Si a ∈ R y a 6= 0 entonces a · a > 0. En consecuencia 1 > 0. e) Para cualquier a en R,a > 0 si y s´olo si −a < 0. f) Si a ∈ R y a > 0 entonces a−1 > 0; si a < 0, entonces a−1 < 0. g) Para cualesquiera a,b,c en R, a − b < a − c si y s´olo si b > c.

1.3. LOS N´UMEROS NATURALES 5

h) Si a y b est´an en R, a > b > 0 implica 0 < a−1 < b−1, mientras que a < b < 0 implica b−1 < a−1 < 0. i) Para cualesquiera a y b en R, con a > 0 y b > 0, a > b ⇔ a · a > b · b. j) Si a ∈ R, entonces | − a| = |a|. Adem´as, |a| = 0 si y s´olo si a = 0. k) Para cualesquiera a y b en R, |ab| = |a||b|,|a + b| ≤ |a| + |b| y |a − b| ≥ ||a| − |b||. l) Si a y b est´an en R y b > 0, entonces |a| < b si y s´olo si −b < a < b.

2. Demuestre que para el sistema definido en el ejercicio 1.2.2 no es posible definir una relaci´on de orden que satisfaga los axiomas (x) - (xii). 3. Considere el conjunto descrito en el ejercicio 1.2.3. ¿Satisface este conjunto los axiomas para la relaci´on de orden?

En lenguaje algebraico los axiomas anteriores expresan el hecho de que (R,+,·,<) es

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