El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo"

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El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.

En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y derivación en términos modernos). Fermat y Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

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Una serie es una suma de infinitos sumandos

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

EJEMPLOS:

 4

1. Σ3 = 3 + 3 + 3 + 3  =  12

K = 1

 5

1. Σ3k= 3x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45

K = 1

 5

1. Σ(1+k) = (1+1) + (1+2) + (1+3) + (1+4) + (1+5)                                                                    

k = 1        =  2 + 3 + 4 + 5 + 6

                =  20

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El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. 

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

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Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Ejemplos:

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[pic 11]

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No podemos calcular [pic 13]porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular[pic 14], aunque 3 no pertenezca al dominio, D= [pic 15]− {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Límites de funciones en el infinito

Para calcular el límite de una función cuando x [pic 16]∞ se sustituyen las x por ∞.

El límite cuando x [pic 17]∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

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Si P(x) es un polinomio, entonces:

[pic 20].

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Cálculo de límites cuando x [pic 22]-∞

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No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

EJERCICIOS

Calcular el límite de:

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Calcular el límite de:

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Calcular el límite de:

[pic 33][pic 34]

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La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

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Hay ciertas reglas que facilitan y permiten calcular derivadas sin usar directamente límites.

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La derivada de una constante es cero.

[pic 38]                   [pic 39] es un número real. 

EJEMPLO: 

1. [pic 40]                                       b.[pic 41]

[pic 42]

Si  n es un número racional.

[pic 43]

EJEMPLOS:

1. [pic 44]

1. [pic 45]

1. [pic 46]

                                      [pic 47]

[pic 48]

Si [pic 49]es una función derivable y [pic 50]un  número real, entonces

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EJEMPLOS:

1. [pic 52]

                                      [pic 53]

1. [pic 54]

                                            [pic 55]

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