Calculo infinitesimal

ADRIAN GUZMÁN RAFAEL [pic 1]

CALCULO II

BREVE HISTORIA

Newton y Leibniz son considerados los descubridores del cálculo, pero su labor es el resultado de una ardua tarea iniciada muchos siglos antes. Ellos tomaron procedimientos infinitesimales de Barrow y de Fermat, solo le dieron precisión y generalidad para ser un método novedoso. Sin la contribución de ellos y muchos más, el cálculo de Newton no se hubiera desarrollado.[pic 2]

El extraordinario avance registrado por las matemáticas, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al calculo infinitesimal.

BLOQUE No. 1 FUNCIONES[pic 3]

Función:

Se tiene una función cuando a un elemento de un primer conjunto se le asocia uno y solo un elemento de un segundo conjunto. 

Relación:

Se tiene una relación cuando a un elemento de un primer conjunto se le asocia uno o varios elementos de un segundo conjunto.

Al primer conjunto se le llama: Dominio, Variable Independiente, Abscisas, o Eje X

Al segundo conjunto se le llama: Rango, Codominio, Variable Dependiente, Ordenada o Eje Y

[pic 4]

[pic 5]

NOTACIÓN DE FUNCIONES [pic 6]

ƒ (x) = 5x + 3

*f de x es igual a 5x más 3*

EVALUCACIÓN DE FUNCIONES

El proceso para obtener los puntos de una grafica de una función se llama evaluar una función, en general para evaluar una función, y= f(x), se sustituye cada valor de la variable independiente, sobre la regla definida de la función. Se puede evaluar con numero reales o sobre una función algebraica.

Para evaluar una función se sustituye el valor de “x” en la misma función o ecuación, evitando las indeterminaciones matemáticas como lo son:

•  = Raíz par de un numero negativo[pic 7]

•  = La división de un número real entre cero[pic 8]

•  = El cociente entre ceros[pic 9]

Por ejemplo:

 = No existe = ∄[pic 10]

 = No existe = ∄[pic 11]

 = No existe = ∄[pic 12]

Ejemplo:

Considere la función:

ƒ(x) = x3 – 2x + 6. Evalúe en:

1. f(-5)

1. f(5)

1. f(1)

1. f(2)

Considere la función:

ƒ(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20. Evalúe en:

1. f(1)

1. f(5)

Considere la función:

ƒ(x) = Sen 2x Encontrar:

1. f(π)

1. f()[pic 13]

1. f()[pic 14]

1. f()[pic 15]

Considere la función:

ƒ(x) = Tan  x Encontrar:                                   NOTA: π = 180°[pic 16]

1. f(π)

1. f()[pic 17]

1. f()[pic 18]

1. f()[pic 19]

Considere la función:

ƒ(x) = x2 – 2x + 6. Evalúe en:

1. f()[pic 20]

1. f(x-2)

1. f(x-h)

1. f()[pic 21]

BLOQUE No. 2 LIMITES[pic 22]

DEFINICIÓN:

El limite de la función f (x), cuando x tiende o se aproxima cada vez más a una constante a, es L, si se pueden acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, tanto como se desee eligiendo una x lo más cerca de a, pero no igual a a. Esto se escribe:

lim f (x) = L

x → a

TEOREMA DE LIMITES

TEOREMA No. I.

El limite de una constante, cuando x tiende o se acerca al valor de a, es la misma constante, es decir:

lim C = C

x → a

Ejemplo:

Evalúe el siguiente límite:

lim 7 =

x → 2

lim 7 = 7

x → 2

TEOREMA No. II.

El limite de un polinomio, cuando x tiende o se acerca al valor de a, se obtiene por sustitución directa de los vaores de x = a. Es decir,

lim m x + b = m (a) + b

 x → a

Ejemplo: Evalúe el siguiente límite

lim 6x + 5 =

x → 2

Evalúe lim (x + 4)x =

x → 0

Evalúe lim  x + 5 = [pic 23]

x → 5

Evalúe lim 12x - 9 =

x → [pic 24]

Evalúe lim  x3 - 81 = [pic 25]

x → 7

Evalúe lim (x + 7) x =

x → 1

Evalúe lim  =[pic 26]

x → 2

Evalúe lim  =[pic 27]

x → 2- 

Evalúe lim  =[pic 28]

x → 0

TEOREMA No. III. (Formas indeterminadas)

En algunos casos al sustituir “x” por un numero determinado “a”, la función f(x) adopta una de las formas llamadas indeterminadas, estas formas son:

 o de .[pic 29][pic 30]

Expresiones que no representan ningún valor determinado para los números reales. En el caso de os limites si se presentan estas indeterminaciones, se procede a factorizar para evitar la indeterminación.

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