Cálculo infinitesimal

Cálculo infinitesimal

El cálculo infinitesimal es una herramienta matemática de extraordinaria utilidad en el planteo y resolución de problemas que admitan un modelo en los que el sistema que se estudia sea divisible en pequeñas pares simples o diferenciales, que sumadas (integradas) vuelven a ser el total. La mayoría de los problemas matemáticos, geométricos y físicos admiten este enfoque y por lo tanto tienen el cálculo infinitesimal como importante aliado.

El cálculo infinitesimal se divide en dos ramas complementarias: cálculo diferencial y cálculo integral que se ocupan respectivamente del cálculo de la participación o diferenciación y el de la suma o integración.

Tiene remotos orígenes en los filósofos y matemáticos de la escuela griega, entre ellos el célebre Arquímedes de Siracusa. Ellos fueron los primeros en imaginar un cuerpo dividido en elementos más simples en forma y tamaño.

Calculo diferencial:

• El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

• El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y =f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo ey la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x0 a x0 + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Cálculo integral

• El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se

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