Logica.Proposiciones y operaciones

CAPITULO 1

LOGICA

1.1 DEFINICIÓN. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

1. Proposiciones y operaciones lógicas.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica por qué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo:

p : La tierra es plana.

q : −17 + 38 = 21

r : x > y − 9

s : El Morelia será campeón en la presente temporada de Futbol.

t : Hola ¿cómo estás?

w : Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x e y en determinado momento. La proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de futbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

1. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).

Los matemáticos usan muchos relatores, como “=”, “∈”, “⊂”, “=”, etc.

A partir de unas afirmaciones podemos construir otras más complejas usando para ello los llamados conectores lógicos. Son cinco:

1. El más sencillo es el negador "  "

(léase “no”). Si “p” significa “Pedro es un hombre”,

"  p " significa “Pedro no es un hombre”.

En general, si a es una afirmación verdadera,  a

es falsa, y viceversa.

significa justo lo contrario y, por tanto,

1. Otro conector es el conjuntor o conjunción "∧"

(léase " y "

). Así, " p∧  a "

significa

“Pedro es un hombre y Ana no es un hombre”, es decir, si a y β son dos afirmaciones, a ∧ β es la afirmación que afirma lo que afirma a y lo que afirma ß. El signo "∧" se comporta en nuestro lenguaje exactamente igual cómo se comporta en castellano la conjunción " y " .

1. Si el conjuntor es " y " , el disyuntor o disyunción es "o" , y lo representaremos por "∨ " . En castellano hay dos formas de usar la disyunción "o" . Cuando a Juanito le dice su papá: “Para tu cumpleaños te puedo regalar la bicicleta o el balón de futbol”, no vale que Juanito responda: “Bien, regálamelos”, porque lo que su padre quiere es que elija. Aquí "o" significa “lo uno o lo otro, pero no las dos cosas”. Pero cuando a Juanito le dice la abuelita: “Es hora de merendar, come galletas o bizcochos”, esta vez Juanito no tiene que elegir, y su abuelita se pondrá muy contenta si come de todo y se hace muy mayor. Aquí "o" significa “lo uno o

lo otro, o también las dos cosas”. Pues bien, para nosotros  "∨ "

significará siempre esto

´ultimo. "p∨ a" Signífica “Pedro es un hombre o Ana es un hombre”, lo cual es cierto porque Pedro es un hombre. Pero si digo "p∨ j " , sigo estando en lo cierto porque, en sentido no exclusivo —como la abuelita—, Pedro es un hombre o Juan es un hombre: ambos lo son.

1. El siguiente conector es el más polémico. Se llama implicador y lo representaremos " → "

(léase “implica”). La idea es que a → β

ha de significar “si a, entonces ß

1. Finalmente tenemos la Doble implicación " ↔ "

(“si y sólo si”) que indica que a y ß son

ambas verdaderas o ambas falsas, que lo que vale para una, vale para la otra.

Todo esto puede resumirse en las tablas siguientes:

1. NEGACIÓN

Ejemplo:

La negación de la proposición

p : “el coche enciende” es  p : “no enciende el coche”

o bien  p : “hay coches que no encienden” la cual, es verdadera, ya que p es falso.

1. CONJUNCIÓN

Se llama conjunción de dos proposiciones, p y q, a la proposición que se obtiene uniéndolas

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