LOGICA PROPOSICIONAL

LOGICA PROPOSICIONAL.

La Lógica es una ciencia y su objeto de estudio lo constituyen las formas, estructuras o esquemas del pensamiento.

La Lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

El lenguaje es un medio por el cual se transmite información; esta se transmite por medio de signos. El lenguaje humano son sistemas de signos que representan algo, ya sea utilizando cada signo individualmente, o combinándolas de alguna manera.

Es por ello que en las ciencias nos encontramos un lenguaje preciso, técnico y lleno de símbolos, que son signos de signos, es decir, signos elegidos cuidadosa y conscientemente para representar a otros signos. Por ser producto de una elección, los símbolos tienen carácter convencional, pero dentro de un lenguaje determinado poseen siempre el mismo significado, sin que varié de acuerdo a las circunstancias.

Lógica proposicional.

En la lógica proposicional se examinan las posibles relaciones entre proposiciones, sin atender a su contenido. Es particularmente útil simbolizar las proposiciones con simples literales y las expresiones mediante las cuales son relacionadas (como “y”, “o”, “si…entonces”), por medio de signos cuyo significados sea constante.

• Simbolizar proposiciones lógicas distinguiendo sus partes.

Las proposiciones son pensamientos en los que se afirma algo y que se expresan, por ello, mediante enunciados u oraciones declarativas; puede decirse que transmiten una proposición que, por ser una afirmación, es verdadera o falsa.

Las proposiciones pueden ser de dos tipos:

• Simples (elementales), en ellas no es posible distinguir partes de componentes que sean, a su vez, también proposiciones, es decir afirmaciones verdaderas o falsas.

Las relaciones entre proposiciones, independientemente del cual sea su contenido, simbolizaremos a las proposiciones simples mediante las literales minúsculas p, q, r… w.

• Compuestas (moleculares), a partir de esas mismas literales, y mediante algunos símbolos especiales para las expresiones que nos permiten formas las proposiciones compuestas.

 Conectivas lógicas sirven para formar proposiciones compuestas, a partir de las simples; son las siguientes:

a) “no es el caso que” (negación)

b) “y” (conjunción)

c) “o” (disyunción)

d) “si entonces” (condicional)

e) “si y solo si” (bicondicional)

Símbolo Operación asociada Significado

~









 Negación

Conjunción o producto lógico

Disyunción o suma lógica

Implicación

Doble implicación

Diferencia simétrica no p o no es cierto que p

p y q

p o q (en sentido incluyente)

p implica q, o si p entonces q

p si y sólo si q

p o q (en sentido excluyente)

Negación.

La negación puede reducirse a la palabra “no”, que es una conectiva lógica a la que representaremos con el símbolo “~” (tilde), el cual se coloca siempre a la izquierda de la proposición que niega.

Negar una proposición es indicar que es falsa. Si negamos a p, siendo p verdadera (primera posibilidad), obtendremos una proposición, falsa; si, por lo contrario, negamos a p, siendo p falsa (segunda posibilidad), obtendremos una proposición verdadera. Es decir:

Si p es verdadera, ~p es falsa.

Si p es falsa, ~p es verdadera.

Tabla de verdad.

p ~p

V F

F V

No solo se pueden negar proposiciones simples sino también compuestas.

Tabla de verdad seria:

P ~p ~~p

V F V

F V F

Conjunción.

Cuando la conectiva “y” es empleada para lanzar dos proposiciones, tiene sentido de afirmar que son simultáneamente verdaderas.

Se simboliza conjunción mediante el signo “”, el cual se coloca entre las proposiciones conjugadas. Puesto que la conjunción de dos proposiciones cualesquiera indica la verdad simultanea de ambas, la proposición resultante es verdadera si efectivamente son verdaderas ambas. En otro caso, la proposición resultante será falsa.

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p q p  q

V

V

F

F V

F

V

F V

F

F

F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Disyunción.

La conectiva “o” se simboliza con el signo ““, tiene la función de enlazar dos proposiciones, indicando que al menos una de ellas es verdadera (aunque también puedan serlo ambas).

Dada una proposición compuesta cuya conectiva es una disyunción, como p  q, será verdadera si al menos una de las alternativas es verdadera (y por supuesto, cuando las dos lo sean). Será falsa solo cuando las dos alternativas sean falsas.

p q p  q

V

V

F

F V

F

V

F V

V

V

F

Condicional.

Implicación o Condicional.

En la proposición compuesta la expresión

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