Didacticas De Matematicas

CAPÍTULO III APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS* Roland Charnay Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Si no ha habido pregunta no puede haber conocimiento científico. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido. BACHELARD, La formación del espíritu científico ¿LECCIONES DE LA HISTORIA? La historia de la matemática, en la complejidad de su evolu-ción y de sus revoluciones, ilustra bien esta cita de Bachelard. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos: problemas de orden doméstico (división de tierras, cálculo de créditos...); pro-blemas planteados en estrecha vinculación con otras ciencias (astronomía, física...); especulaciones en apariencia "gratuitas" sobre "objetos" pertenecientes a las matemáticas mismas, necesi-dad de organizar elementos ya existentes, de estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposición (enseñanza...), etcé-tera. De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia 1. En Grand N, revista de matemática, ciencias y tecnología para los maestros de la escuela primaria y pre-primaria, nB 42, enero 1988, Documento CRDP, Gre-noble, Francia. Traducción del francés de Santiago Ruiz en colaboración con Gema Fioriti y María Elena Ruiz, y publicado con autorización del CRDP (Centre Regional de Documentation Pédagogique).

52 DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS matemática. "¡Hacer matemática es resolver problemas!", no temen afirmar algunos. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. Los proble-mas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre parciales, aun si destellos geniales provocan avances espectacula-res... que a veces no son reconocidos desde el principio. "En el uso frecuente de textos originales y también en el de obras generales —suma de saberes históricamente acumulados en este dominio— hemos descubierto un tejido complejo y difuso hecho de conjetu-ras, de dudas, de gaffe, de modelos concurrentes, de intuiciones fulgurantes y también de momentos de axiomatización y síntesis", escriben A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer en el prefacio de su libro. ¿Pueden estas consideraciones (muy esquemáticas) sobre el origen del conocimiento matemático y sobre las condiciones de su elaboración encontrar eco en una reflexión sobre la cuestión del aprendizaje matemático en el contexto escolar? La respuesta debe ser prudente y cuidadosa: las herramientas o nociones elaboradas en una época determinada lo han sido, en efecto, en un contexto cultural, socioeconómico..., que no es aquel en el que viven nues-tros alumnos. Resta decir que son los problemas que les han dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas. Esta es, tal vez, la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza. CONSTRUIR EL SENTIDO... Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseñanza de la matemática es pre-cisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado, tenga sentido para el alumno. Para G. Brousseau (1983), el sentido de un conocimiento matemático se define: — no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución,

APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 53 — sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc. Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:  un nivel "externo": ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo?  un nivel "interno": ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?). La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno? El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas. Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas. ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE Se plantea entonces al docente la elección de una estrategia de aprendizaje. Esta elección (que cada uno hace al menos implícita-mente) está influida por numerosas variables: el punto de vista del docente sobre la disciplina enseñada (¿qué es la matemática?, ¿qué es hacer matemática?), su punto de vista sobre los objetivos gene-rales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemáti-

54 DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS ca, su punto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres... Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apo-yar en la idea de "contrato didáctico", tal como Brousseau lo ha definido: conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto de comportamientos del alum-no que son esperados por el maestro, y que regulan el funciona-miento de la clase y las relaciones maestro-alumnos-saber, definien-do así los roles de cada uno y la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién debe hacer qué?, ¿cuáles son los fines y los objetivos?... Así, una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se "juegan" entre estos tres polos: maestro, alumno, saber:

analizando: —la distribución de los roles de cada uno, —el proyecto de cada uno, —las reglas del juego: ¿qué está permitido, qué es lo que realmente se demanda, qué se espera, qué hay que hacer o decir para "mostrar que se sabe"...? Muy esquemáticamente se describirán tres modelos de referencia: 1. El modelo llamado "normativo" (centrado en el contenido) Se trata de aportar, de comunicar

APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 55 un saber a los alumnos. La pedagogía es entonces el arte de comu-nicar, de "hacer pasar" un saber. —El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos. —El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe

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