Fórmulas básicas

Fórmulas básicas

Fórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripción

(+)(+)=+

(+)(-)=-

(-)(+)=-

(-)(-)=+ Ley de signos para multiplicación <

>

≤

≥

≅

≈

≠

=

∞

∆

→

%

√

∛ Menor que

Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

Aproximadamente igual

Aproximadamente

Diferente que (a)

Igual que (a)

Infinito

Incremento, gradiente, cambio

Que tiende a… /que se aproxima a…

Porciento

Raíz cuadrada

Raíz cúbica

Fórmulas unidad 3.

Fórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripción

f^' (x)= lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗 Donde:

Δx y Δy: incrementos de las variables x,y, respectivamente.

∆y/∆x=(f(x_2 )-f(x_1))/(x_2-x_1 ), representa a la razón o tasa promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo (x_1,x_2), esto es que tanto varía el valor de y por cada unidad de cambio en x.

f^' (x)= 〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗, se interpreta como la razón o tasa instantánea de cambio de y con respecto a x, en el punto x_1. dy/dx Derivada de y con respecto a x.

(d(c))/dx=0

(d(cx))/dx=c

(d(cx^n))/dx=ncx^(n-1)

(d(u±v±w±⋯))/dx=du/dx±dv/dx±dw/dx±⋯

(d(cu))/dx=c du/dx

(d(uv))/dx=u dv/dx+v du/dx

dy/dx=dy/du du/dx Regla de la cadena. Fórmulas y reglas de derivación

Consideraciones para el uso de las fórmulas y reglas de derivación:

u,v,w: son funciones cuya variable independiente es x.

a,b,c,n: son números constantes.

e: 2.71828...

Ln u: es el logaritmo natural de u, en dónde u > 0.

Para la Regla de la cadena: “Calcular la derivada de la función en el interior del paréntesis y multiplicarla por la derivada del exterior” (d(uvw))/dx=uv dw/dx+uw dv/dx+vw du/dx

d(u/v)/dx=(v(du/dx)-u(dv/dx))/v^2

d(u^n )/dx=nu^(n-1) du/dx

(dLn u)/dx=1/u du/dx

(da^u)/dx=a^u Ln a du/dx

(de^u)/dx=e^u du/dx

(du^v)/dx=vu^(v-1) du/dx+u^v Ln u dv/dx Fórmulas y reglas de derivación

Consideraciones para el uso de las fórmulas y reglas de derivación:

u,v,w: son funciones cuya variable independiente es x.

a,b,c,n: son números constantes.

e: 2.71828...

Ln u: es el logaritmo natural de u, en dónde u > 0.

Δy/Δx=(f(x_2 )-f(x_1))/(x_2-x_1 ) Razón o tasa promedio de cambio f^' (x)= lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗 Razón o tasa instantánea de cambio

La primera derivada se representa o denota como:

f^' (x) o dy/dx

La segunda derivada se representa o denota como:

f^'' (x) o (d^2 y)/dx

La tercera derivada se representa o denota como:

f^''' (x) o (d^3 y)/dx

Y así sucesivamente hasta llegar a la n-sima derivada de una función. Derivadas de orden superior I^' (x)≈ I(x+1)-I(x) Ingreso marginal: corresponde a la derivada de la función de ingreso.

C'(x)≈C(x+1)-C(x) Costo Marginal: es la derivada de la función de costo.

C_m'(x)=(C(x))/x Costo promedio o medio marginal: es la derivada de la función de costo promedio

U'(x)≈U(x+1)-U(x) Utilidad Marginal: es la derivada de la función de utilidad

η=p/q dq/dp η= Elasticidad de la demanda.

p = Precio.

q = Demanda.

dq/dp= Cambio de la demanda en función del precio de venta y/o producción. ∆x=x_final-x_inicial Cambio o incremento de una variable

∆f(x)=〖∆y=f(x〗_final)-f(x_inicial) Cambio o incremento de una función

Si f^' (x)>0 cuando a<x<b, entonces f es una función creciente en a<x<b.

Si f^' (x)<0 cuando a<x<b, entonces f es una función decreciente en a<x<b.

Si f^' (x)=0 cuando a<x<b, entonces f es una función constante en a<x<b. Criterio de la primera derivada:

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la primera derivada son:

Obtener la derivada de la función.

Determinar los valores críticos, esto es los valores de x en la derivada de la función cuando f^' (x)=0.

Se marcan los valores críticos en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se determinará el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después del valor crítico.

De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:

Si los signos son (+)(-), se tiene un máximo local.

Si los signos son (-)(-), se tiene un mínimo local.

Si los signos son (+)(+) o (-)(-), no hay extremo local. Si f^''(x)>0 cuando a<x<b, entonces f es una función cóncava hacia arriba en a<x<b.

Si f^''(x)<0 cuando a<x<b, entonces

...