FORMULAS BASICAS — NUMEROS COMPLEJOS

FORMULAS BASICAS — NUMEROS COMPLEJOS

• i = √−1, y se llama unidad imaginaria.

• Un n´umero complejo tiene la forma a+bi, donde a, b ∈ R. a se llama parte real de z y se escribe a = Re(z), y b se llama parte imaginaria: b = Im(z). OBSERVACION: a y b son n´umeros reales.

• El conjugado del n´umero complejo z = a+bi, es z = a−bi. An´alogamente, a − bi = a + bi.

• El m´odulo del n´umero complejo z = a + bi, es el n´umero real positivo |z| = √a2 + b2.

• El argumento n´umero complejo z = a + bi, es el n´umero real Arg(z) = α dado por α = arctg ¡ ba¢ y teniendo en cuenta la regla de los signos, esto es

que sig(cosα) = sig(a), y sig(senα) = sig(b). La ´unica determinaci´on del ´angulo α en radianes en el intervalo (−π,π] se llama argumento principal de z.

Formas de escribir un n´umero complejo

• Forma bin´omica z = a + bi.

• Forma cartesiana z = (a, b).

• Forma polar z = rα, con r = |z| y α = Arg(z).

• Forma trigonom´etrica z = r (cos(α) + isen(α)).

• Forma exponencial z = r · eαi

Operaciones b´asicas

• Suma y resta: Si z = a+bi y w = c+di, entonces z+w = (a+c)+(b+d)i; y z − w = (a − c) + (b − d)i.

• Producto y cociente: z · w = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i; z

w = a + bi

c + di = (a + bi)(c − di)

(c + di)(c − di) = (ac + bd) + (bc − ad)i

c2 + d2

• Producto y cociente en forma polar: Si z = rα y w = ρβ, entonces z · w = rρα+β; y zw = rαρβ = µrρ¶α−β

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