Numeros complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

Números Complejos: Son expresiones (a+bi), donde a y b son números reales. El número a se llama parte Real y  el término b.i se llama parte Imaginaria.

• CASOS ESPECIALES

• Los Complejos que tienen la parte imaginaria nula:  Si b = 0, el Número Complejo se reduce a un número Real, ya que: a + 0.i= a
• Si a = 0, el Número Complejo se reduce: 0 + b.i= bi; es un Número Imaginario Puro.
• Si a =0 y b=0, resulta que el número complejo: 0 + 0i, que es el Número Complejo cero,  se escribe 0

• LOS REALES SON UN SUBCONJUNTO DE LOS COMPLEJOS:

Todo Real puede considerarse con Número Complejo con parte Imaginaria cero: a = a +0i

Al conjunto de los Números Complejos lo denotaremos . O sea el conjunto de los Números Reales es un subconjunto de los Complejos [pic 1][pic 2]

• EL CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO:

Se llama conjugado de z= a + bi al Número Complejo definido por . [pic 3]

• LA UNIDAD IMAGINARIA (i):

Llamaremos unidad imaginaria de un Número Complejo, al número  que se representa con la letra i. [pic 4]

De esta manera, tenemos que:  [pic 5]

Con la Unidad Imaginaria i se pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, etc.), con la particularidad especial: [pic 6]

• POTENCIAS:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

• REGLA PARA ELEVAR (i) A CUALQUIE POTENCIA:  [pic 12]

Ejemplo:    [pic 14][pic 13]

322        4[pic 15]

 02         80

  2[pic 16]

• SUMA Y RESTA DE NÚMERO COMPLEJOS:

Para sumar o restar dos Números Complejos tenemos que sumar o restar por separado las partes Reales y las partes Imaginarias.

Ejemplo: Si queremos sumar los Números Complejos 3 – 2i y 5 + 6i

 (3 – 2i) + (5 + 6i) = (3 + 5) + (-2 +6)i = 8 + 4i

Ejemplo: Si queremos restar los Número Complejos 4 – 7i y 6 – 5i

(4 – 7i) – (6 – 5i) = (4 – 6) + (-7 – (-5))i = -2 -2i

• MULTIPLICACIÓN:

Para multiplicar Complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de Número Reales o expresiones algebraicas-, debe tenerse en cuenta  [pic 17]

[pic 18]

Ejemplo:

(3 + 4i) . (2 – 5i) = (3.2 – 4. (-5)) + (3.(-5) +4.2)i

                        =  (6 + 20) + (-15 + 8)i

                = 26 – 7i

[pic 19][pic 20][pic 21]

Ejemplo: (2 + 3i) . (2 – 3i) = 4 - 6i + 6i - 9 =  4 – 9. (-1) = 4 + 9 = 13[pic 22]

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