HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculodiferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva ramade las matemáticas,a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuacionesdiferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin ensí mismo.Ya Newton (los creadores del calculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton)observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, enparticular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo queesperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostraciónestándar actual usa el teorema del valor medio). Los matemáticos de la época confrecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t deuna partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que lavelocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición,por tanto, permanece constante.En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismoaño, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos deltriangulo característico.En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adoptauna cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamócatenaria (dellatín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras queHuygens probó que esto no era correcto.En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes.La deJean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica:Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemosa lamisma altura) y que distan 2a uno del otro y sea  la densidad del cable. Sea y =y(x) lafunción que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que laaltura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras, y0(0) = 0).La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvodominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones deorden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones linealesde orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entreotras cosas. La etapasiguiente (1820) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajesimportantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857);los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.

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