UNA APLICACIÓN A LA INGENIERIA E INTRODUCCION A LA LOGICA DE PREDICADOS

ALGEBRA DE BOOLE

UNA APLICACIÓN A LA INGENIERIA E INTRODUCCION A LA LOGICA DE PREDICADOS

INTEGRANTES:

Jaime Alexander Osorio

Andres Felipe Claros

Carlos Alberto Medina

Miguel Bonilla

Javier Buesaquillo

Sergio Herrera

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA SEDE NEIVA

FACULTAD INGENIERIA

PROGRAMA INGENIERIA CIVIL

SEMESTRE 2016-1

NEIVA

CAPITULO 2

ÀLGEBRA DE BOOLE

George Boole, 1815-1864.

George Boole. El lógico y matemático George Boole, 1815-1864 aplica el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de Leibniz de una characteristica universalis o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común.

Introducción:

El Álgebra de Boole estudia técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional con el fin de resolver más rápidamente problemas de diseño electrónico. Es una estructura matemática definida con variables binarias A, B, C, …x, y, z, … en un conjunto

β ={0,1}   y con tres operaciones AND, OR, y NOT en β con un significado lógico, verdadero - falso.

La ingeniería utiliza el Álgebra de Boole para describir matemáticamente la manipulación y el proceso de información binaria. Para ello establece una relación entre el Álgebra de Boole, los circuitos lógicos y las señales eléctricas binarias.

OPERACIONES Y COMPUERTAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Operaciones y compuertas fundamentales

Las operaciones fundamentales del Álgebra de Boole son NOT, AND y OR.

OPERACIÓN Y COMPUERTA AND (Y).

Ésta es la operación Conjunción ∧ del Cálculo Proposicional que ahora se denota con un punto, A B. , razón por la cual es llamada Multiplicación Lógica. Puede omitirse el punto; si se desea es indiferente A B. o AB . La expresión A B. o AB se lee “A AND B”.

Multiplicación lógica.

A .B es verdadero si y solo si  A =1 y B=1

es la que trabaja con variables binarias y operaciones lógicas del Álgebra de Boole. Así, las variables sólo toman dos valores discretos: V(verdadero) y F (falso); aunque estos dos valores lógicos también se pueden denotar como sí y no, o como 1 y 0 respectivamente.

OPERACIÓN Y COMPUERTA OR (O).

Esta operación y compuerta es la operación Disyunción Inclusiva ∨ del Cálculo Proposicional que en el Álgebra de Bool se denota A+ B , razón por la cual se llama Suma Lógica. Esta expresión se lee “A OR B”.

SUMA LÓGICA.

a+ B es falsa si y solo si  A= 0  y B=  Aunque la operación OR se simboliza con +, el concepto de suma lógica no coincide con el de suma en los números reales. Mientras que en los reales 1 + 1 = 2, en el contexto del Álgebra de Boole 1 + 1 = 1.

  OPERACIÓN Y COMPUERTA NOT (NO, INVERSOR)

Ésta es la opeación Negación del Cálculo Proposicional que denotaremos con una barra encima de una letra, A . Significa invertir el valor de verdad de la entrada A. En el contexto del Álgebra de Boole A se lee “complemento de A”. Como solo hay dos valores de verdad, el complemento de 0 es 1 y el complemento de 1 es 0. El significado lógico se resume en la tabla siguiente.

COMPLEMENTO LÓGICO

̴ A es verdadero si y solo si  A=0  y  ̴ A es falso si y solo si A=1

Aquí se verifica en la práctica de la ingeniería las Leyes de De Morgan. Así pues, el proceso de la asignación de 1 y 0 es la digitalización de las señales eléctricas en el tiempo. Éstas señales activan y desactivan a manera de interruptor los dispositivos Compuertas Lógicas, las cuales son los elementos básicos de cualquier circuito digital real.  

Operación y Compuerta XOR (o excluyente)

Aquí se puede decir que se aplica la Disyunción exclusiva del Calculo proposicional v pero como esto es Algebra de Boole y no Calculo proposicional, hay una forma en que se representa en el Álgebra como en el cálculo la cual es por medio de ⊕.

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