Glosario Algebra Lineal

Unidad 1. Vectores, Matrices y Determinantes

1. DERIVADA PARCIAL

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

2. MATRIZ SEMEJANTE

En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n-por-n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n-por-n sobre K tal que:

P −1AP = B.

Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la matriz A en la matriz B.

En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_semejante

3. MATRIZ INVERTIBLE

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que:

, donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible

4. DETERMINANTES

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

5. ECUACIÓN DEL PLANO

Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo y dos vectores u y v, no nulos y linealmente independientes contenidos en el plano, llamados vectores directores del mismo. Sea un plano π que tiene como vectores directores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) y pasa por un punto P0(x0,y0,z0), si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano: OP=OP0+tu+sv.

 Que expresada en coordenadas: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t•(u1,u2,u3)+s•(v1,v2,v3) ECUACIÓN

VECTORIAL

 A partir de aquí podemos escribir: x=x0+t•u1+s•v1

y=y0+t•u2+s•v2

z=z0+t•u3+s•v3 ECUACIONES

PARAMÉTRICAS

 Los vectores PP0, u y v son dependientes:

x-x0=t•u1+s•v1

y-y0=t•u2+s•v2

z-z0=t•u3+s•v3

desarrollando: Ax+By+Cz=D ECUACIÓN

GENERAL

 Si n=(A,B,C) es un vector normal al plano yP0(x0,y0,z0) un punto del mismo A•(x-x0)+B•(y-y0)+C•(z-z0)=0 ECUACIÓN

NORMAL

Disponible en:

http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac2/mat2_06rectasyplanos_t2.htm

6. VECTOR PROPIO Y VALOR PROPIO

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio

Unidad 2. Sistemas lineales de ecuaciones, rectas, planos y espacios vectoriales.

1. ECUACION

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

2. INCÓGNITA

En matemáticas, una incógnita es un elemento constitutivo de una expresión matemática. La incógnita permite describir una propiedad verificada por algún tipo de "valor desconocido", por lo general números. En el caso de una ecuación, es un valor tal que, al sustituirlo por la incógnita, se verifica la igualdad; en este caso se le llama solución. La incógnita también es utilizada en otros casos, como por ejemplo una inecuación. Un problema puede tener una o varias incógnitas, pero cada una se expresa bajo la forma de un solo y único símbolo. Casos simples de uso son la regla de tres y el cálculo de porcentaje.

Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

3. SUBMATRIZ

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. Es decir, como un array, en el que se cortan las entradas limitadas por fila y columna.

Por ejemplo:

Entonces:

Una submatriz A formada por filas 1,2 y columnas

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