Introducción A Las Matrices

MATRICES

Introducción a las matrices.

Definición 1 Una matriz A es un arreglo o disposición rectangular de números. Si el arreglo tiene m renglones (horizontales) y n columnas (verticales), entonces se llama matriz m x n (se lee “matriz m por n”). Se dice que el tamaño o dimensión es m por n, o sea m x n.

[■(■(■(a_11@a_21 )&■(a_12@a_22 ))&■(■(■(⋯&a_1j&⋯)@■(⋯&a_2j&⋯))&■(a_1n@a_2n ))@■(■(■(⋮@a_i1 )@■(⋮@a_m1 ))&■(■(⋮@a_i2 )@■(⋮@a_m2 )))&■(■(■(■(⋮@■(⋯&a_ij&⋯))@⋮)@■(⋯&a_mj&⋯))&■(■(■(⋮@a_1n )@⋮)@a_mn )))]

El número a_ij que aparece en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de A [también denotado de la forma 〖(A)〗_ij] se llama componente ij-ésima o elemento ij(-ésimo) de A. la matriz mostrada en (1) se representa frecuentemente por A = 〖(a〗_ij). (Los números que aparecen en la matriz son números reales a menos que se indique de otra manera). Se utilizan letras mayúsculas en tipo negrito A, B, C, … para denotar matrices. Una matriz 1 x n a menudo se llama vector renglón n-dimensional (o simplemente vector renglón o matriz renglón), y una matriz m x 1 vector columna m-dimensional (o simplemente vector columna o matriz columna).

Ejemplo 1 Considérese los arreglos rectangulares

A=[■(■(2&-1)&3@■(5&6)&0)], B=[■(8&-2@-4&6)], C=[■(1&3&4)], y D=[■(1@5)]

El arreglo A = 〖(a〗_ij) es una matriz 2 x 3 ya que tiene dos renglones y tres columnas, B = 〖(b〗_ij) es una matriz 2 x 2, C es una matriz renglón 1 x 3 y D es una matriz columna 2 x 1. El número -1 se encuentra en el primer renglón y la segunda columna de A; esto es, a_12 = -1. Análogamente, b_22 = 6.

Ejemplo 2 Encontrar las componentes de la matriz A = 〖(a〗_ij) si A es 3 x 2 y a_ij = 2i + j

Solución. Puesto que a_ij = 2i + j,

a_11 = 2 + 1 = 3 a_12 = 2 + 2 = 4

a_21 = 2(2) + 1 = 5 a_22 = 2(2) + 2 =6

a_31 = 2(3) + 1 = 7 a_32 = 2(3) + 2 = 8

Por lo tanto,

A = [■(3&4@5&6@7&8)]

Se dice que dos matrices A = 〖(a〗_ij) y B = 〖(b〗_ij) son iguales si son del mismo tamaño (esto es, ambas m x n) y sus componentes correspondientes son iguales (esto es, a_ij = b_ij para cada elección de i y j). Si A y B son iguales, se escribe A = B. Si A no es igual a B, se escribe A ≠ B.

Ejemplo 3 Las matrices A y B son iguales, pero ninguna es igual a C.

A=[■(2&4&6@8&0&1)] B= [■(2&4&6@8&0&1)] C= [■(2&4&6@8&0&3)]

Una matriz se denominad matriz cuadrada si su número de renglones es igual a su número de columnas. Se dice que una matriz n x n es de orden n. La matriz B del Ejemplo 1 es una matriz 2 x 2 y, por consiguiente, de orden 2.

Una clase particular de matrices, las triangulares, desempeña un papel importante en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. La forma escalonada por renglones de la matriz aumentada de un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas es una matriz triangular. Para definir matrices triangulares, examinaremos más detenidamente las matrices cuadradas. Se dice que las componentes a_11,a_22,…,a_nm de una matriz cuadrada A están en la diagonal principal (o simplemente en la diagonal) de A:

A=[■(a_11&a_12&■(⋯&a_1n )@a_21&a_22&■(…&a_2n )@■(⋮@a_n1 )&■(⋮@a_n2 )&■(…&■(⋮@a_nm )))]

Una matriz cuadrada A se llama matriz diagonal si todas sus componentes distintas de cero están en la diagonal. Por ejemplo,

[■(5&0@0&3)],[■(7&0@0&0)],[■(1&0&0@0&2&0@0&0&3)],y [■(0&0&0@0&2&0@0&0&0)]

Son diagonales, mientras que [■(1&3@0&1)] no lo es. Nótese que una matriz diagonal puede tener uno o más ceros en su diagonal.

Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todas sus componentes que se encuentran debajo de los elementos de la diagonal son cero. Por ejemplo,

[■(1 &6@0 &3)] y [■(8 &9 &16@0 &4 &5@0 &0 &0)]

Son triangulares superiores. Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todas las componentes que se encuentran arriba de la diagonal son cero. Las matrices

[■(7 &0@9 &1)] y [■(3 &0 &0@4 &0 &0@1 &1 &2)]

son triangulares inferiores.

La suma de matrices fue definida en 1858 por el matemático inglés Arthur Cayley. Como se verá, la suma de matrices es una operación sencilla. La suma de dos matrices del mismo tamaño se obtiene sumando las componentes correspondientes de las matrices.

Definición 2 Sean A = 〖(a〗_ij) y B = 〖(b〗_ij) dos matrices m x n. La suma A + B de las dos matrices es la matriz m x n.

A + B = 〖(a〗_ij) + 〖(b〗_ij) = 〖(a〗_ij + b_ij)

■( a_11+&b_11&■(a_12+&b_12&■(…&a_1n+&b_1n ))@= a_21+&b_21&■(a_22+&b_22&■(⋯&a_2n+&b_2n ))@ ■(⋮@a_m1+)&■(⋮@b_m1 )&■(■(⋮@a_m2 )&■(⋮@b_m2 )&■(■( @⋯)&■(⋮@a_mn+)&■(⋮@b_mn ))))

Esta definición es aplicable para la suma de dos matrices A y B solamente si dichas matrices son del mismo tamaño. La suma:

[■(1&3@5&6)]+ [■(4&8)]

No está definida.

Ejemplo 4 [■(1&8@11&4@0&9)]+ [■(6&-7@3&15@2&5)]= [■(1+6&8+(-7)@11+3&4 + 15@0+2&9 + 5)]= [■(7&1@14&19@2&14)]

Problema 1 Determine la suma

[■(3&8&7@22&-3&4)]+[■(11&34&6@-9&27&1)]

La matriz m x n 0_(m x n) (o simplemente 0), cuyas componentes son todas cero, se llama matriz cero y merece atención especial. Obsérvese que

[■(3&5&22@8&11&4)]+ [■(0&0&0@0&0&0)]= [■(3+0&5+0&22+0@8+0&11+0&4+0)]= [■(3&5&22@8&11&4)]

En efecto, como lo demostrará el Teorema 1, A + 0 = A para toda matriz A, donde A y 0 son del mismo

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