Operaciones Fundamentales

OPERACIONES FUNDAMENTALES

Expresiones algebraicas son enunciados compuestos de términos. Un término algebraico tiene los siguientes elementos: signo, coeficiente o constante, variable y exponente o potencia. Los términos están separados por los signos + o - y enlazados por productos, formando monomios, binomios, trinomios y polinomios.

Un término, o monomio, se define como un número, una variable o un producto de números y variables. Un polinomio es un término o una suma finita de términos, con sólo exponentes enteros no negativos permitidos en las variables. Si los términos de un polinomio sólo tienen a la variable x, entonces el polinomio se denomina polinomio en x. (Los polinomios en otras variables se definen de manera similar.) Los ejemplos de polinomios comprenden 5x3 8X2 + 7x 4, 9p5 3, 8r2 y 6.

La expresión 9x2 4x 6/x no es un polinomio, debido a la presencia del último término. Un polinomio no puede tener variables en el denominador.

El mayor exponente en un polinomio en una variable es el grado del polinomio. Una constante distinta de cero se dice que tiene grado 0. (El polinomio 0 no tiene grado.). Por ejemplo, 3x6 5x2 + 2x + 3 es un polinomio de grado 6.

Un polinomio puede tener más de una variable. Un término que consiste en más de una variable tiene grado igual a la suma de todos los exponentes que aparecen en las variables en el término. Por ejemplo, 3x4y3z5 es de grado 12. El grado de un polinomio con más de una variable es igual al mayor grado de los términos del polinomio. Por esta definición, el polinomio 2x4y3 3x5y + x6y2 es de grado 8, debido a su término x6y2.

Todo polinomio que consta exactamente de tres términos se conoce con el nombre de trinomio, y aquel que posee dos términos se denomina binomio.

Dos términos son semejantes si tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS

Esta operación tiene por objeto convertir en uno solo, dos o más términos semejantes. Pueden darse los tres casos siguientes:

1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. Se suman los coeficientes anotando delante de esta suma el signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

5x + x + 2x = 8x

-m-3m-6m-5m = -15m

2. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. Se restan los coeficientes anotando delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

2a - 3ª = - a

-8 ab2 + 8ab2 = 0

3. Reducción de dos o más términos semejantes de signos distintos. Se reducen a un solo término, todos los positivos, se hace lo mismo con los negativos y a los dos resultados obtenidos, se aplica la regla del caso anterior.

5a – 8a + a – 6a + 21a = 13 a

SUMA

Solo se pueden asociar o sumar, términos semejantes, para lo cual se siguen las indicaciones anteriores. En general: xn + xn = 2n

Ejemplos:

1) (12xy2+3x2y-4x3) + (-10xy2-3x2y-x3) = 2xy2 - 5x3

2) (5+4y-3y2-y3) + (y3+8y2-14y-3) = 2-10y+5y2

3) x + 5

4x + 7

5x - 8

10x + 4

RESTA

Sólo se pueden restar términos semejantes, tal y como se vio en la reducción de términos. En general: 2xn - xn = xn

Ejemplos:

1) (7x3-6y3+3xy) - (5x3+6y3+2xy)=2x3-12y3+xy

2) (5m + 6) - (2m - 8) = 3m + 14

3) (3x -2y -4) - (2x + 4y -2) = x -6y -2

MULTIPLICACIÓN

Se multiplican los coeficientes, término a término, y se suman los exponentes cuando las literales son iguales; si éstas son diferentes, solamente se multiplican los coeficientes dejando las letras con los mismos exponentes que tienen. Debe tenerse en cuenta la regla de los signos: signos iguales dan productos positivos y signos desiguales, productos negativos. En general: xmxn = xm+n

Ejemplos:

1) (-2x4) (5x5y) = -10x9y

2) (3x - 1) (x + 2) = 3x2 + 5x - 2

3) (2 + 3x - x2) (-3x) = - 6x - 9x2 + 3x3

DIVISIÓN

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y luego se ordenan las letras alfabéticamente, anotándole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo del término resultante obedece a la ley de los signos. Pueden apreciarse tres situaciones:

Monomios

Para dividir un monomio entre otro, se procede como acaba de anotarse

8x5y = - 4x3y

-2x2

Polinomio entre monomio

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos.

9x3+15x2-21x = 3x2+5x-7

3x

Polinomios

Se ordenan dividendo y divisor con relación a una misma literal, en orden descendente. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor para obtener el término inicial del cociente, el cual se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene semejante en el dividendo, se escribe en la posición que le corresponda de acuerdo al orden elegido. Divide el siguiente término entre el primero del divisor y se repite el procedimiento anterior hasta que el residuo sea cero, en el caso de una división exacta, o hasta que su grado sea menor que el grado del divisor.

3x2+2x-1

2x2+x+4 6x4+7x3+12x2+10x+1

-6x4-3x3-12x2

4x3 +10x+1

-4x3 -2x2 -8x

-2x2 +2x+1

+2x2 + x +4

3x+5

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Un símbolo de agrupación se usa para encerrar o incluir una expresión que representa un número en particular. Los signos más usados son paréntesis, corchetes, llaves y vínculos. Para reducir expresiones que contienen estos símbolos se simplifica siempre el numeral del símbolo de agrupación más interno y se procede a operar hacia el más externo hasta que se eliminan todos los símbolos.

4x -[2x - 3y - (x + 4y)] + (x - 8)

4x -[2x - 3y - x - 4y] + x - 8

4x -2x + 3y + x + 4y + x - 8

4x +7y – 8

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