¿Qué es la Probabilidad?

1. ¿Qué es la Probabilidad?

Mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) y luego al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

2. Teoría de la Probabilidad: Es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

3. Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad

3.1. Teoría de la Medida: Es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las medidas, funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.

3.2. Teoría de Conjuntos: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

4. Axiomas de la Teoría de la Probabilidad: En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.

• Primer Axioma

La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0.

• Segundo Axioma

La probabilidad del total, , es igual a 1, es decir,

• Tercer Axioma

Si son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

.

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

4.1. Propiedades de los Axiomas: De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

1. donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso imposible

2. Para cualquier suceso

3.

4. Si entonces

5.

4.2. Teoremas de los Axiomas:

• Teorema 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero. p(f)=0

Demostración: Si sumamos a f un evento a cualquiera, como f y a son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(afè)=p(a) +p(f)=p(a). lqqd

• Teorema 2. La probabilidad del complemento de a, ac debe ser, p(ac)= 1 – p(a)

Demostración: Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, a y ac luego d=aèac, por tanto p(d)=p(a) + p(ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(ac)= 1 - p(a) .lqqd

• Teorema 3. Si un evento a ì b, entonces la p(a) £ p(b).

Demostración: Si separamos el evento b en dos eventos mutuamente excluyentes, a y b \ a (b menos a), por tanto, b=aè(b \ a) y p(b)=p(a) +p(b \ a), luego entonces si p(b \ a)³0 entonces se cumple que p(a)£p(b). lqqd

• Teorema 4. La p( a \ b )= p(a) – p(açb)

Demostración: Si a y b son dos eventos cualquiera, entonces el evento a se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (a \ b) y açb, por tanto, a=(a \ b)è(açb), luego p(a)=p(a \ b) + p(açb), entonces, p(a \ b) = p(a) – p(açb). lqqd

• Teorema 5. Para dos eventos a y b, p(aèb)=p(a) + p(b) – p(açb).

Demostración: si aèb = (a \ b) è b, donde (a \ b) y b son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(a è b) = p(a \ b) + p(b) y del teorema anterior tomamos que p(a \ b) = p(a) – p(açb), por tanto, p(aèb) = p(a) + p(b) – p(açb). lqqd

5. Espacio Muestral: Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Ejemplos:

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es

E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

6. Probabilidad de un Evento: En estadística, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. En otras palabras la probabilidad de un evento es justamente la posibilidad medida en un número de que ocurra "una cosa" entre otras también posibles.

Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde son una serie de posibles resultados. Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

Ejemplos:

En el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: Obtener un número primo Obtener un número primo y par Obtener un número mayor o igual a 5

A = {2, 3, 5}

B = {2}

C = {5, 6}

6.1. Tipos de Eventos:

6.1.1. Eventos Excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.

Ejemplos:

Si se tira un dado calcular la probabilidad de: Caen 3 puntos o menos o caen 5 puntos o más. Como son Mutuamente excluyentes AnB=0.

P(AoB)=P(a)+P(B)

=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o más)

=3/6+2/6

=5/6

Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas

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