Sucesiones

Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogéneos

Anteriormente trabajamos con sistemas de ecuaciones lineales de la forma:

donde las a’s y las b’s son números reales.

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2,b3, …, bn son todas ceros. Esto es, el sistema es de la forma:

En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como solución una de estas tres posibilidades: una solución única, ninguna solución o un número infinito de soluciones. Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo hay dos posibilidades: cero como solución (llamada solución trivial) o un número infinito de soluciones adicional a cero como solución (llamada solución no trivial).

Ejemplos (para discusión en clase):

Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene un número infinito de soluciones si n > m.

Sistemas de ecuaciones lineales homogeneas

Objetivos. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homogeneas (son aquellas ecuaciones

lineales que tienen constantes iguales a cero). Mostrar que la solucion general de estos

sistemas se puede escribir como una combinacion lineal de n r vectores, donde n es el

numero de las incognitas y r es el numero de los renglones no nulos en la forma escalonada.

Requisitos. Eliminacion de Gauss-Jordan, matrices escalonadas reducidas, o pseudo-

escalonadas reducidas, construccion de la solucion general de un sistema de ecuaciones

lineales.

Aplicaciones. Nucleo de una transformacion lineal.

1. De

nicion (sistema de ecuaciones lineales homogeneas). Un sistema de ecua-

ciones lineales homogeneas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de

constantes nula.

2. Observacion. Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneas es compatible, porque

el vector cero es una de sus soluciones, llamada solucion trivial. Para un sistema de

ecuaciones lineales hay dos casos posibles:

(a) puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solucion (la trivial);

(b) puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solucion no

trivial.

En cada ejemplo hay que determinar cual situacion tiene caso y describir el conjunto de

todas las soluciones.

3. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogeneas:

8

<

:

3x1 2x2 + x3 + 4x4 = 0;

8x1 5x2 4x3 + x4 = 0;

...