Teoria de juegos. Equilibrio de Nash

Se puede demostrar que en condiciones bastante débiles un jugador siempre tiene al menos una estrategia racionalizable- "Desafortunadamente, los jugadores pueden tener muchas estrategias racionalizables. Como en el Ejemplo 8.C.I. Si queremos reducir más nuestras predicciones, necesitamos

Para hacer suposiciones adicionales más allá del conocimiento común de la racionalidad. Los conceptos de solución estudiados en el resto de este capítulo lo hacen imponiendo requisitos de "equilibrio" a las opciones estratégicas de los jugadores.

Hemos sabido que el alcance de las estrategias racionalizables no es mayor que el conjunto que queda después de la supresión iterativa de estrategias estrictamente dominadas. Resulta, sin embargo, que para el caso de los juegos de dos jugadores (t = 2), estos dos conjuntos son negativos porque en juegos de dos jugadores una estrategia (mixta) es la mejor respuesta a la elección de una estrategia El rival del jugador siempre que un ¡no esté dominado terminantemente.

Para ver que esto es plausible, reconsidere el juego en la figura 8.B.5 (el ejercicio 8.C.3 le pide una prueba general). Supongamos que los beneficios de la estrategia M se alteran para que M no esté estrictamente dominado. Luego, como se muestra en la figura 8.C.2. Los pagos de M se encuentran en algún lugar arriba.  

La línea que conecta los puntos para las estrategias U y D. Es M un mejor! Respuesta aquí Y es. Para ver esto, tenga en cuenta que si jugador 2 estrategia R con probabilidad σ2 (R) Entonces el jugador esperaba que el pago escogiera una estrategia con recompensas ( UR,UL) es σ2 (R) UR +(1- σ2 (R)) UL.

Los puntos que producen el mismo beneficio esperado que la estrategia M por lo tanto se encuentran en un hiperplano con vector normal +(1- σ2 (R), σ2 (R)). Como se puede ver, la estrategia es una mejor respuesta σ2 (R) = ½.; Produce una ganancia esperada estrictamente mayor que cualquier ganancia esperada alcanzable jugando estrategias U y para D.

Con más de dos jugadores, sin embargo, puede haber estrategias que nunca son una mejor respuesta y aún no están estrictamente dominadas. La razón se puede atribuir al hecho de que las asignaciones al azar de los jugadores son independientes. Si las asignaciones al azar por los rivales de i pueden ser correlacionadas (discutimos cómo esto podría suceder al final de las Secciones 8.0 y 8.E), la equivalencia reemerge. El ejercicio 8.C.4 ilustra estos puntos.

8.D Equilibrio de Nash

En esta sección presentamos y discutimos el concepto de solución más ampliamente utilizado en las aplicaciones de la teoría de juegos a la economía, la del equilibrio de Nash [debido a Nash (1951)]. A lo largo del resto del libro, confiamos en ello ampliamente.

F o facilidad de exposición, inicialmente ignoramos la posibilidad de que los jugadores puedan aleatorizar sobre sus estrategias puras, restringiendo nuestra atención al juego ГN = [ I , {Si} ,{ ui(.)}]

Las estrategias mixtas se presentan más adelante en la sección.

Comenzamos con la Definición 8.0.1.

Definición 8.0.1: Un perfil de estrategia s = (s1,…,sl) Constituye un equilibrio de Nash de

Juego ГN = [ I , {Si} ,{ ui(.)}]Si para todo i = 1, ..., I,

Ui(si,s-i) ≥ u(si`,s-i) para todo si` Є si

En un equilibrio de Nash, la elección de estrategia de cada jugador es la mejor respuesta (ver Definición 8.C.1) a las estrategias reales / y jugadas por sus rivales. Las palabras en cursiva distinguen el concepto de equilibrio de Nash del concepto de racionalización estudiado en la sección 8.C. La racionalizabilidad, que capta las implicaciones del conocimiento común de los jugadores sobre la racionalidad de cada uno y la estructura del juego, requiere solamente que la estrategia de un jugador sea la mejor respuesta a una razonable conjetura sobre lo que sus rivales jugarán, El juego conjeturado de sus rivales también puede ser justificado. El equilibrio de Nash añade a esto el requisito de que los jugadores sean correctos en sus conjeturas.

Los ejemplos 8.D.I y 8.0.2 ilustran el uso del concepto.

Ejemplo 8.0.1: Considere el juego de movimientos simultáneos de dos jugadores que se muestra en la figura 8.D.l. Podemos ver que (M, m) es un equilibrio de Nash. Si el jugador 1 elige M, entonces la mejor respuesta del jugador 2 es elegir m; Lo contrario es cierto para el jugador 2. Además, (M, m) es la única combinación de estrategias (puras) que es un equilibrio de Nash. Por ejemplo, el perfil de estrategia (U, r) no puede ser un equilibrio de Nash porque el jugador 1 preferiría desviarse a la estrategia D dado que el jugador 2 está jugando r. (Compruebe las otras posibilidades para usted.)

Ejemplo 8.0.2: Equilibrio de Nash en el Juego de la Figura 8.C.l. En este juego, el

El único perfil de equilibrio de Nash de estrategias (puras) es (a2 , b2). La mejor respuesta del jugador a b2 es a2 y la mejor respuesta del jugador 2 a a2 es b2, por lo que (a2 , b2) es un equilibrio de Nash.

[pic 1]

[pic 2]

En cualquier otro perfil de estrategia, uno de los jugadores tiene un incentivo para desviarse. [De hecho, (a2 , b2) es el único equilibrio de Nash incluso cuando se permite la aleatorización; Ver Ejercicio 8.D.l.]

Este ejemplo ilustra una relación general entre el concepto de equilibrio de Nash y el de las estrategias racionalizables: Toda estrategia que forma parte de un pro del equilibrio de N puede ser justificada porque la estrategia de cada jugador en un equilibrio de Nash puede ser justificada por las estrategias de equilibrio de Nash de Los otros jugadores. Por lo tanto, como un asunto general, el concepto de equilibrio de Nash ofrece al menos una predicción tan aguda como lo hace el concepto de racionalización. De hecho, a menudo ofrece una predicción mucho más aguda. En el juego de la figura 8.C.l, por ejemplo, las estrategias racionalizables a1, a3 , b1 y b3, se eliminan como predicciones porque no pueden sostenerse cuando se requiere que las creencias de los jugadores sobre el juego del otro sean correctas.

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