Autoseguro. El entorno del consumidor.Dotación no estocástica

Capítulo 16

Autoseguro

16.1. Introducción

En este capítulo se describe una versión de lo que a veces se llama un problema de ahorro (por ejemplo, Chamberlain y Wilson, 2000). Un consumidor quiere maximizar la suma de descuento esperado de una función cóncava de un periodo de tasas de consumo, como en el capítulo 8. Sin embargo, el consumidor está separado de todos los mercados de seguros y de casi todos los mercados de activos. El consumidor sólo puede comprar cantidades no negativas de un activo libre de riesgo. La falta de oportunidades de seguros induce al consumidor a ajustar sus carteras de activos para adquirir un "autoseguro".

Este modelo es interesante para nosotros en parte como punto de referencia para comparar con el modelo de mercados completos del capítulo 8 y algunos de los modelos de contratos recursivos del capítulo 19, donde la información y la aplicación de los problemas restringen asignaciones relativas al capítulo 8, pero sin embargo permiten más seguros de lo que es permitido en este capítulo. Una generalización del modelo de un solo agente de este capítulo también será un componente importante de los modelos de mercados incompletos del capítulo 17. Por último, el capítulo proporciona nuestro primer contacto con el poderoso teorema de convergencia supermartingala.

Para resaltar los efectos de la incertidumbre y de las limitaciones de préstamo, estudiaremos versiones del problema de ahorros bajo supuestos alternativos sobre la rigurosidad de la restricción de crédito y supuestos alternativos acerca de si la corriente de dotación doméstica es conocida o incierta.

16.2. El entorno del consumidor

Un agente ordena las corrientes de consumo según

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donde β ∈ (0, 1), y u(c) es una función, estrictamente creciente, estrictamente cóncava, dos veces continuamente diferenciable, del consumo de un único bien c. El agente está dotado de una secuencia aleatoria infinita  del bien. Cada periodo, la dotación toma un valor de un número finito de valores, indexados por s ∈ S.[pic 2]

En particular, el conjunto de posibles dotaciones es   . Los elementos de la secuencia de las dotaciones se distribuyen de forma independiente e idéntica con Prob, y . No hay mercados de seguros.[pic 3][pic 4][pic 5]

El agente puede contener cantidades no negativas de un solo activo libre de riesgo que tiene una tasa neta de rendimiento r, donde . Sea  los activos del al inicio del periodo , incluyendo la realización actual del proceso de ingreso. (Más adelante vamos a utilizar una notación común y alternativa definiendo  como la deuda del consumidor en el inicio del período t, excluyendo la dotación en el tiempo t.) Asumiendo que  es extraída de la distribución de la dotación invariante en el tiempo . (Esto es equivalente a suponer que  en la notación alternativa.) El agente se enfrenta a la secuencia de limitaciones presupuestarias[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

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donde , con  dado. La restricción  de las explotaciones del activo al final del período (que evidentemente es igual a ) no debe ser negativa. La restricción es o impuesta o se trata de una condición Inada .[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

La ecuación de Bellman para un agente con a > 0 es

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sujeto a 0 ≤ c ≤ a,

donde  es la realización de ingresos en el estado . La función de valor  hereda las propiedades básicas de ; es decir,  es creciente, estrictamente cóncava y diferenciable.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

El "autoseguro" se produce cuando el agente utiliza los ahorros para asegurarse él mismo contra las fluctuaciones del ingreso. Por un lado, en respuesta a las realizaciones de bajos ingresos, un agente puede reducir sus ahorros y evitar grandes caídas temporales en el consumo. Por otro lado, el agente puede ahorrar parcialmente realizaciones de altos ingresos en previsión de pobres resultados en el futuro. Estamos interesados en las propiedades a largo plazo de un esquema óptimo de "autoseguro". ¿Se asentará el consumo futuro del agente alrededor de algún nivel ?^[1]  ¿O el agente se empobrecerá eventualmente?^[2]  Siguiendo el análisis de Chamberlain y Wilson (2000) y Sotomayor (1984), vamos a demostrar que ninguno de estos resultados ocurre: el consumo se desviará hasta el infinito[pic 26]

Antes de analizar en términos de incertidumbre, vamos a considerar brevemente el problema de ahorros bajo cierta secuencia de dotación. Con una dotación no aleatoria que no crece continuamente, el consumo converge.

16.3. Dotación no estocástica

Sin la incertidumbre, la cuestión del seguro es discutible. Sin embargo, es instructivo estudiar las decisiones de consumo óptimas de un agente con un flujo de ingresos desiguales ante una restricción de crédito. Dividimos el análisis del caso no estocástico en dos partes, dependiendo de la severidad de la restricción de créditos. Comenzamos con restricción menos estricta de crédito, a saber, la restricción de crédito natural en un período de valores Arrow, que son libres de riesgo en el contexto actual. Después de eso, ajustaremos arbitrariamente la restricción de préstamo para llegar a la condición de ausencia de préstamo  impuesta en el planteamiento del problema en la sección anterior.[pic 27]

Por conveniencia, utilizamos temporalmente nuestra notación alternativa. Dejamos que  sea la cantidad de la deuda de un período que el consumidor debe en el momento t;  está relacionada con  por[pic 28][pic 29][pic 30]

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con . Aquí  es la posición de activos del consumidor antes de la realización del tiempo t de dotación. En esta notación, la restricción de presupuesto de tiempo t (16.2.2) se convierte en[pic 32][pic 33]

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donde, en términos de   queremos expresar una restricción de ausencia de préstamo  como[pic 35][pic 36]

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La restricción de no préstamo (16.3.2) es, evidentemente, más estricta que la restricción de crédito natural en un período de valores Arrow que hemos impuesto en el capítulo 8. Bajo una condición de Inada en , o, alternativamente, cuando  se impone, la restricción crediticia natural en este caso no estocástico se encuentra resolviendo (16.3.1) con :[pic 38][pic 39][pic 40]

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El lado derecho es la cantidad máxima que es factible pagar en el tiempo t cuando [pic 42]

Resolver (16.3.1) e imponer la condición inicial  para obtener[pic 43]

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