Finance & Leasing

EL FILTRO DE KALMAN

Consiste en un conjunto de ecuaciones matemáticas que proveen una solución recursiva optima, por el método de mínimos cuadrados.la meta de esta solución consiste en calcular un estimador lineal, insesgado y óptimo del estado de un sistema en t con base en la información disponible t-1 y actualizar, con la información adicional disponible en t, dichas estimaciones. El filtro se desempeña suponiendo que el sistema puede ser descrito a través de un modelo estocástico lineal, en donde el error asociado tanto al sistema como a la información adicional que se incorpora en el mismo tiene una distribución normal con media cero y desviación determinada.

La solución es óptima por cuanto el filtro combina toda la información observada y el conocimiento previo acerca del comportamiento del sistema para producir una estimación del estado de tal manera que error es minimizado estadísticamente. El término recursivo significa que el filtro recalcula la solución cada vez que una nueva observación o medida es incorporada al sistema.

El filtro de kalman es el principal algoritmo para estimar sistemas dinámicos representados en la forma de estado-espacio. En esta representación el sistema es descrito por un conjunto de variables determinadas de estado. El estado contiene toda la información relativa al sistema a un cierto punto en el tiempo. Esta información debe permitir la inferencia del comportamiento pasado del sistema, con el objetivo de predecir su comportamiento futuro.

Lo que hace el filtro tan interesante es precisamente su habilidad para predecir el estado de un sistema en el pasado, presente y futuro, aún cuando la naturaleza precisa del sistema modelado es desconocida. En la práctica las variables estado individuales de un sistema dinámico no pueden ser exactamente determinadas por una medición directa. Dado lo anterior, su medición se realiza por medio de procesos estocásticos que involucran algún grado de incertidumbre en la medición.

El proceso a ser estimado

El filtro de Kalman tiene como objetivo resolver el problema general de estimar el estado de un proceso controlado en tiempo discreto, el cual esta denominado por una ecuación lineal en diferencia estocástica de la siguiente forma:

……………………………….. (1)

Con una media , que es

…………………………………… (2)

Las variables aleatorias y representan el error del proceso y de la media respectivamente. Se asume que son independientes entre ellas, que son ruido blanco y con distribución de probabilidad normal

…………………………….. (3)

……………………………... (4)

En la práctica las matrices de covarianza de la perturbación del proceso, Q, y de la perturbación de la media, R, podrían cambiar en el tiempo, por simplicidad en general se asumen que son constantes.

La

...