Productos Notables

Parte 1.- Desarrolla los siguientes productos notables y justifica realizando un comentario que identifique tu manejo del mismo.

Parte 2.- También desarrolla los binomios (Newton), utilizando las reglas prácticas vistas para los mismos. Agrega una observación que complemente tu conocimiento.

Parte1

Producto Notable Justificación

1)

(2a)^(3 )-3(2a)^ (b)+(b^3 )

2^3 a^3 -6 ab -b^3

8a^3 -6ab +b^3

2)

(〖2x〗^2 )²+2(2x) (3y)+(3y)²

4x^4 +12 xy+9y

3)

Producto de Binomios con un término común

(x + a)(x+b) (x + c)= x^3+(a+b+c) x^2+(ab+ac+bc)x+abc

4)

(x/3)²+2(y/2)(x/3)+2(y/2) (x/3)+(y/2)²

(x²/9)+(2y/2)(x/3)+ (2x/3) (y/2) +(y²/4)

x²/9+2xy/6+2xy/6+y²/4

5)

x^2+y^2-3^2

x^2+y^2-9

6)

(√9x)²-(6+6)(√9x)+(6)(6)

〖9x〗^2-12√9x+12

7)

(〖3x〗^2 )+2(3x)(2)+ 2^2

〖9x〗^2 12x+4

8)

(〖2x〗^3 )-3(2x)(3)- 3^2

〖8x〗^3-18x-9

9)

10)

11)

〖16x〗^2+〖25y〗^2+36

12)

(〖5a〗^2 )-2 (5a)(3)+ 9^2

〖5a〗^2-30a+81

13)

〖4x〗^2+〖36y〗^2+16

14)

x^2+y^2+4

15)

(x^2 )-1(x)(1)+ 1^2

x^2-1x+1

Parte 2

Binomio (Newton)

Observación

1)

a^4+4a^(3 ) b+6a^2 b^2+ 4 〖ab〗^3+ b^4

〖(2x)〗^4+4 (2x)^3-3+6 (2x)²(-3)²+4 (2x) (-3)^3+(〖-3)〗^4

16 x^4 + 4 (8x³) (-3) + 6 (4x²) ( +9) + 4 (2x) (-27)+ (81)

16x^4 - 96x³ + 216 x² -216 x +81

2)

a^5+5a^(4 ) b+10 a³b^2+ 10 〖a²b〗^3+ 〖5 ab〗^4+b^5

〖(3x)〗^5+5〖(3x〗^(4 ))(2y)+10 (3x^3)〖(2y〗^2)+ 10 〖(3x^2 )(2y〗^3)+ 〖5 (3x)(2y〗^4)+〖(2y)〗^5

243x^5 + 30 x^4y + 60x^3 y^2 + 30 xy^4 + 32

3)

a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +b6

4)

a^7-7a^(6 ) b+21a^5 b^2- 35a^4 b^3+35a^3 b^4 〖- 21 a²b〗^(5 )+7ab+ b^7

〖〖(3x〗^2)〗^7-7 〖〖(3x〗^2)〗^6 (-2y)+ 21 (〖〖3x〗^2)〗^(5 ) (〖-2y〗^2 )-35 (〖〖3x〗^2)〗^4 (〖-2y〗^(3 ) )+ 35(〖〖3x〗^2)〗^(3 ) (〖-2y〗^4 )- 21 (〖〖3x〗^2)〗^2 (〖-2y〗^(5 ) )+ 7 (〖3x〗^(2 ) )(-2y)+(〖-2y〗^7)

5)

a^4+4a^(3 ) b+6a^2 b^2+ 4 〖ab〗^3+ b^4

Conclusiones.

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Ver: PSU; Matemática

Pregunta 12_2005

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos

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