Repaso de conceptos

Repaso de conceptos

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones.

Por ejemplo,

Suma de cuadrados: a2 + b2

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y

Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a

Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.

Clases de expresiones algebraicas:

1. Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio.

Ejemplo: 3ax2

2. Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

3. Cuando un polinomio esta formado por dos términos se llama binomio.

Ejemplo: 2x2 + 3xy

4. Cuando un polinomio esta formado por tres términos se llama trinomio.

Ejemplo: 5x2 + 4y5 – 6x2y

División de monomios

Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes

Ejemplo:

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.

Ejemplo:

restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:

División de polinomios entre polinomios

La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;

Si se tiene la división

1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:

2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x2) por el primer término del divisor (x):

3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.

4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.

Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0

el ejercicio es el siguiente:

4x² + 22x + 18 / x + 2

No te olvides que siempretienes que ordenar el dividendo y el divisor

Pasa a dividir el primer dividendo del término entre el primer término del divisor así obtienes el primer termino del cociente,el primer resto parcial se obtiene restando del dividendo el producto del primer termino del cociente ,dividimos el primer término del resto parcialentre el divisor ,restamos del dividendo el producto del segundo termino del cociente hssta que el residuo sea de grado menor al grado del divisor

Por lo que es así:

..4x² + 22x + 18 / x + 2

-4x^2...-8x

-----------------

0.......14x......+18

........-14x......-28

---------------------------

residuo=-10

Cociente:4x+14

OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3

B = x + 2

A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =

1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2

Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

Resto: -29

Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini, se ponen los coeficientes de dividendo

-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera para que la tengan, y así luego poder usar la Regla de Ruffini (Ver EJEMPLO 7 y EJEMPLO 6)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (El dividendo A no tiene término independiente)

A = -4x4 + 30x + x5

B = x - 3

A : B = (-4x4 + x5 + 30x) :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x5 - 4x4 + 0x3 + 0x2 + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3

Cociente = x4 - x3 - 3x2 - 9x + 3

Resto: 9

Si no hay término independiente en el dividendo, hay que completarlo con "0", tal como se completan los otros grados intermedios. El coeficiente de la x5 es 1, pues x5 es igual a 1.x5. En el resultado también quedaron coeficientes "1" y "-1", pero luego en el Cociente no hace falta ponerlos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con el dividendo muy incompleto)

A = 2x - x7

B = x + 1

A : B = (2x - x7):(x + 1)

1) Polinomio A ordenado y completo:

-x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1

Cociente: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + 1

Resto: -1

No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse las columnas de todos los grados.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Caso particular: El dividendo es un polinomio de grado 1)

A = -3x + 5/2

B = x - 4

A : B = (-3x + 5/2):(x - 4)

Polinomio A ordenado y completo: -3x + 5/2

El opuesto del término independiente del polinomio B: -(-4) = 4

Cociente: -3

Resto: -19/2

Como el grado del dividiendo es 1, el grado del cociente es 0 (un grado menos que el dividendo). Así

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