“APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES”

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“APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES”

Cátedra               :          Ecuaciones Diferenciales

Catedrático               :         USCAMAYTA VERÁSTEGUI David

Integrantes         :     ALFARO DE LA CRUZ Kevin Rodaly

                              CALDERON ESQUIVEL, Allisson Yeselien

                            MANDUJANO GALARZA Orlando

                            MANTARI LLACUACHAQUI Joel

                            ROSALES CASAS Stiven Kevin

                              SUELDO SANTOS, Christian

                            TORRES RIVERA, Rogger

Semestre           :          III Semestre

Hyo-2015

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“Lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el océano”.                                          A. Einstein.

1. RESUMEN

Este módulo tiene como objetivo determinar el tiempo de vaciado y la constante de descarga de un tanque de forma cónica, el cual tiene un orificio circular en la punta del cono invertido. El procedimiento experimental consistió básicamente en trabajar con este tanque con 200ml de agua que es lo mismo decir 200[pic 8], en la cual tiene subdivisiones referentes a los volúmenes con ello hallamos la altura, y se mide el tiempo. Se realizó una comparación entre los valores teóricos y experimentales del tiempo de vaciado y de la constante de descarga, donde se utilizó el modelo matemático teórico para determinar esta constante de forma experimental a través de las mediciones de nivel de altura a cada tiempo .Los resultados obtenidos experimentalmente comparando con lo teórico tienen una diferencia la cual es causada por las pérdidas de descarga y el tapón, lo que se ve reflejado en la constante de vaciado del tanque.

La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de las prácticas más utilizadas en las industrias. Todo proceso que se lleva a cabo en un tanque incluye un proceso de vaciado del mismo.

II. INTRODUCCIÓN

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.

Este tema es importante porque nos ayuda a entender los problemas de vaciado de tanques, es decir con esta experiencia podemos entender mejor los conceptos del tiempo de vaciado y la constante de descarga de un tanque.

Básicamente nuestro modelo matemático se apega al procedimiento usual para el vaciado de un tanque aplicando ecuaciones diferenciales

Por ello, los primeros pasos en la experiencia del modelado mediante ecuaciones diferenciales se dan observando el trabajo de los expertos, es decir estudiar las suposiciones finas se emplean en los modelos que han trascendido a lo largo del tiempo en la ciencia y en la ingeniería.

1. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

• Determinar el tiempo de vaciado.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Determinar la constante proporcional.
• Hallar un modelo matemático que cumpla con nuestro tanque
• Relacionar el tiempo de vaciado con la altura del cono invertido
• Comprobar la constante obtenida en la práctica con lo teórico.

1. MARCO TEÓRICO

1. VACIDO DE TANQUES

1. DEFINICIÓN

Un tanque de una cierta forma geométrica está inicialmente lleno de agua hasta una altura H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A/m2.Se abre el orificio y el líquido sale libremente. La razón volumétrica de salida  es proporcional al de salida y al área de orificio es decir,[pic 9]

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Donde k depende de la forma de orificio:

1. UNIDADES Y NOTACIONES

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4.2 MEDICIONES Y ERRORES

La importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la técnica.

1. ¿QUÉ ES MEDIR?

Medir es el acto que se realiza para obtener de las dimensiones de un objeto respetando un patrón de medida específico.

Hay dos tipos de mediciones:

• Medida Directa:

        El valor de la magnitud desconocida se obtiene por comparación con una unidad         desconocida.

• Medida Indirecta :

        Valor obtenido mediante el cálculo de la función de una o más mediciones         directas, que contienen fluctuaciones originadas por perturbaciones diversas         

1. PARTE EXPERIMENTAL

1. MATERIALES

• Figura cónica (pera de decantación cortada)
• Cronómetro
• El calibrador vernier
• Soporte para el cono invertido
• Motor eléctrico de abertura y cerradura del flujo de agua conectado al cronometro

1.        PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

• Llenar el recipiente con agua hasta un volumen de 200[pic 12](tomado como punto de referencia )
• Hacer diferentes mediciones del tiempo durante el vaciado del tanque a diferentes alturas.

1. CÁLCULOS

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Se nota que la velocidad de vaciado va disminuyendo

Donde:

a= área del orificio donde va salir el agua

=velocidad de salida del agua por el orificio[pic 14]

V= volumen

k= constante proporcional

[pic 15]  Es proporcional a la velocidad de salida y el área del orificio.

Sabemos que:

• El área de la circunferencia es:

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Donde:

 r:es el radio de la circunferencia

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Reemplazamos al radio del agujero por:  [pic 18]

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[pic 22]   

La conservación de la energía en el cilindro:

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...