GUIA DE APOYO Y PREPARACION 2 TEMA : FUNCIONES dominio y rango

1.  MR: El dominio es un sub-conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados con un elemento del conjunto de llegada.
   El rango es un sub-conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que sirven como imagen de los elementos del dominio de la relación. 

Método para hallar el dominio

Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres casos:

i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.
R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.

1. Despejar (y)
   R: 2xy - 3y = 5 [pic 2]y(2x - 3) = 5 [pic 3] y =  [pic 4] 
2. ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?
   R: [pic 5]
   Este resultado significa que todos los reales, excepto [pic 6], tienen imagen en el conjunto de llegada, por lo tanto el dominio de la relación se escribe:
   DR = Re -{[pic 7]} 
3. Exprese con sus propias palabras cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar (y).
   R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x). 

ii. La (x) hace parte de un radical par (raíz cuadrada, cuarta, sexta (...). Dé ejemplo.
R: Sea la relación R = {(x, y) / 3x + y2 - 3 = 0}

1. Despeje "y"
   R: [pic 8]
2. Exprese con sus propias palabras cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en un radical par al despejar (y).
   R: Si al despejar (y) en una relación encontramos que la (x) hace parte de un radical par, entonces para encontrar su dominio bastará con hacer la expresión subradical mayor o igual a cero y en dicha expresión hallar el conjunto solución para (y). 
3. Para qué un radical par sea real, la cantidad subradical debe ser [pic 9]0. ¿Por qué? ¿Cómo se representa matemáticamente este respuesta?
   R: Porque el radical par de una cantidad negativa no pertenece a los reales. Pertenece a los imaginarios.
   Entonces podemos escribir:
   [pic 10]
4. ¿Para qué valores de (x) se pueden obtener valores reales?
   R: Para los (x) menores o iguales a 1.
   Este resultado indica que sólo los números reales menores o iguales a 1 pueden tener una imagen en el conjunto de llegada y escribimos: DR = Re [pic 11]1. 

Método para hallar el Rango

Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.

1. Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.
   Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Porqué?
   R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y diferentes. 
2. Hallar el dominio.
   R: [pic 12]
   Vemos que la (x) hace parte de un radical par
   [pic 13]
   Solucionamos una desigualdad cuadrática
   [pic 14]
3. Hallar el rango.
   R:
   [pic 15]
   La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto: 
   [pic 16]
4. Terminados los ejercicios propuestos, corrija los resultados y en caso de errores verifique los procedimientos.

Evaluación
Halla el dominio y el rango de la relación R = {(x, y) / 3y + 4x2 - 4x + 3 = 0}

DR = Re

RR = (-[pic 17], -2 / 3] 

1. Halle el dominio de la función  [pic 18]     

Para hallar el dominio es necesario que se cumpla : [pic 19]

1. Halle el dominio de la función :

[pic 20]

Para hallar el dominio es necesario que se cumpla :

[pic 21]

Usaremos el método de los puntos críticos. Haciendo  x – 4  = 0, x + 3 = 0, x +1 = 0, x +4 = 0 , entonces x = 4, x = – 3, x = – 1, x = – 4. Si los ubicamos en la recta numérica se tiene que [pic 22]

1. Hallar el rango de la función  f (x) = –x2 + 6x –5

Como  –x2 + 7x –10 = 4 – (x – 3)2 ,   y    4 – (x – 3)2 [pic 23] 4  entonces f(x) [pic 24] 4.

Luego [pic 25]

1. Hallar el rango de la función [pic 26]        

Como [pic 27] entonces f(x) [pic 28] 3.

Luego [pic 29]