EJERCICIO MARKOV

3. El centro de computación de la Universidad de Rockbottom ha estado experimentando periodos considerables de tiempo muerto en sus computadoras. Supóngase que se definen los ensayos de un proceso correspondiente de Markov como periodos de una hora y que la probabilidad de que el sistema este en estado de operación o en estado inactivo se basa en el estado del sistema en el periodo anterior. Los datos históricos muestras las siguientes probabilidades de transición:

A

Operante Inoperante

De Operante 0.90 0.10

Inoperante 0.30 0.70

Si el sistema está inicialmente operando, ¿cuál es la probabilidad de que se caiga el sistema en la siguiente hora de operación?

π(1)=π(0)P

[π_1 (1) π_2 (1)]=[π_1 (0) π_2 (0)][■(p_11&p_12@p_21&p_22 )]

[π_1 (1) π_2 (1) ]=[1 0][■(0.9&0.10@0.30&0.70)]

[π_1 (1) π_2 (1)]=[0.9 0.1]

Las probabilidades de estado π_1 (1)=0.9 (el sistema seguirá operando)y π_2 (1)=0.1 (el sistema inoperará) Por lo tanto la probabilidad de que el sistema inicialmente operando se caiga en la siguiente hora de operación (quiere decir que pase a inoperante) es de 0.1.

¿Cuáles son las probabilidades de estado estable de que el sistema se encuentre en estado operante y en estado inoperante?

En general sabemos que :

[π_1 (n+1) π_2 (n+1)]=[π_1 (n) π_2 (n)][■(p_11&p_12@p_21&p_22 )]

Como para una n suficiente grande la diferencia entre π(n+1) y π(n) es despreciable, se observa que en el estado estable, π_1 (n+1)=π_1 (n)=π_1 y π_2 (n+1)=π_2 (n)=π_2. Por ello

[π_1 π_2 ]=[π_1 π_2 ][■(p_11&p_12@p_21&p_22 )]

[π_1 π_2 ]=[π_1 π_2 ][■(0.90&0.10@0.30&0.70)]

Despues de realizar las multiplicaciones anteriores se obtiene

π_1=0.9π_1+0.30π_2

π_2=0.10π_1+0.70π_2

Sin embargo sabemos que:

π_1+π_2=1

Puesto que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1. Con respecto a esta fórmula procederemos a:

π_1=0.9〖0π〗_1+0.30(1-π_1)

π_1=0.90π_1+0.30-0.30π_1

π_1=0.60π_1+0.30

π_1-0.60π_1=0.30

〖0.40π〗_1=0.30

π_1=0.30/0.40

π_1=3⁄4

Recordemos que tenemos la formula:

π_1+π_2=1

Así que sustituiremos los valores para encontrar π_2.

3⁄4+π_2=1

π_2=1-3⁄4

π_2=1⁄4

Por lo tanto las probabilidades de estado estable de que el sistema se encuentre en estado operante es de 0.75 ó ( 3⁄4) y en estado inoperante es de 0.25 ó 1⁄4.

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