Ecuaciones Polinomicas

ECUACIONES POLINÓMICAS

Las ecuaciones que presenten un grado mayor o igual a tres, se les llama polinómicas, se han estudiado por separado las ecuaciones de primero, segundo y tercer grado, ahora se pretende hacer un análisis general a las ecuaciones polinómicas.Una ecuación de la forma entero positivo, se le conoce como ecuación Polinómica.

Haciendo algo de historia, en la resolución de ecuaciones, los Babilonios formularon

problemas que condujeron a ecuaciones de cuarto grado, donde la incógnita era un

cuadrado, por lo que se les llamaron ecuaciones bicuadradas. Ferrari desarrolló el método de solución de ecuaciones de cuarto grado, lo que fue publicado en Ars Magna de Cardano. En trabajos encontrados de Cardano, Tartaglia y Ferrari, se detecto que deseaban establecer un forma general para resolver ecuaciones de cuarto grado.

REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES:

El Matemático francés René Descartes, padre de la Geometría Analítica, en 1.636 propone una técnica para identificar el número de soluciones reales positiva y negativas para un polinomio de grado n, con n є Z+

El teorema cuya prueba esta fuera del alcance de este curso dice:

TEOREMA: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales cuyo término independiente es diferente de cero, tendrá un número de soluciones reales positivas de P(x) = 0, igual al número de variaciones de signo en P(x) ó es menor que el número de variaciones en cantidad par. El número de variaciones negativas de la ecuación P(x), es igual al número de variaciones de signo e= 0, ó es menor que el número de variaciones en cantidad n P(-x) = 0,

.

Acotación de las Soluciones:

El siguiente teorema permite identificar el intervalo en el que se encuentran las soluciones reales, si éstas existen.

Ejemplo:

Dado el polinomio: P(x) x 12x 12x 10 Determinar la acotación del mismo.

Solución:

Por la regla del producto nulo.

(x – 1) = 0, luego x = 1

(2x – 1) = 0, luego x = 1/2

(2x + 1) = 0, luego x = -1/2

Así k = -1/2. Cualquier número menor que -1/2 será cota inferior de P(x).

K = 1. Cualquier número superior a 1 será cota superior de P(x).

TEOREMA DE RAICES RACIONALES:

Para determinar las soluciones de una ecuación Polinómica con coeficientes enteros, hay un teorema que simplifica la identificación de las raíces del polinomio.

Ejemplo:

Determinar los ceros del polinomio:

Solución:

Inicialmente se identifica p y q. Siendo p los divisores del término independiente y q del

coeficiente de x4.

p = 1, -1, 2, -2, 4, -4.

q = 1, -1, 2, -2.

Posibles

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