ECUACIONES POLINÓMICA.

ECUACIONES POLINÓMICA

Ejemplo 12 : Resolver las siguientes ecuaciones: a) (2x - 3) (1- x) (x + 6) = 0

Como el polinomio está factorizado las soluciones de la ecuación son los números que anulan uno cualquiera de los

factores:

3

2x - 3 = 0 ⇔ x = 2        1 - x = 0 ⇔ x = 1        x + 6 = 0 ⇔ x = -6

3

Por tanto, las soluciones son x = 2, x = 1 y x = -6.

b) 2x3 + 5x2 = 0

Para resolver esta ecuación, al ser el término independiente 0, se saca factor común x2, quedando x2  (2x + 5) = 0. Al estar el polinomio factorizado las soluciones son los números que anulan uno cualquiera de los factores:

x2 = 0 ⇔ x = 0 doble        2x + 5 = 0 ⇔ x = -5 2[pic 1]

-5

Por tanto, las soluciones son x = 0 doble y x = 2 .

c)  x4 - 25 = 0

Teniendo en cuenta que el polinomio x4  - 25  es diferencia de cuadrados (los cuadrados de x2  y de 5), la ecuación se puede escribir de la forma (x2 + 5)(x2 - 5) = 0.

Las soluciones de la ecuación son los números que anulan uno cualquiera de los factores. Como la ecuación x2 + 5 = 0 no tiene solución, las únicas soluciones de la ecuación inicial son las de x2 – 5 = 0, es decir, x =   5 y x = -  5.[pic 2][pic 3]

d) 4x3 + 8x2 - x - 2 = 0

Para factorizar el polinomio 4x3 + 8x2 - x – 2 se tiene en cuenta que los divisores enteros del término independiente, -2, son 1, -1, 2 y -2. Sustituyendo x = 1, x = -1, x = 2 y x = -2 en la ecuación se observa que únicamente x = -2 es solución. Dividiendo 4x3 + 8x2 - x - 2 entre x - (-2) = x + 2, mediante la Regla de Ruffini, se obtiene:

Por tanto, el polinomio se puede escribir de la forma 4x3 + 8x2 - x - 2 = (x + 2) (4x2 - 1) y la ecuación inicial se puede expresar como (x + 2) (4x2 - 1) = 0. Así, las soluciones de la ecuación son los números que anulan uno cualquiera de los factores:

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