El Lenguaje Matematico

LENGUAJE MATEMATICO

El lenguaje matemático es una forma de comunicación a través de símbolos especiales para realizar cálculos matemáticos.

A continuación algunos ejemplos expresados en lenguaje natural y/o lenguaje matemático:

• En el lenguaje natural no se utiliza el cero como numero.

• En el lenguaje natural, sumar es aumentar y restar es disminuir. En el lenguaje matemático, sumar es aumentar o disminuir (si se suma un número negativo).

• Cuando se dice un número, en el lenguaje natural se refiere a uno cualquiera determinado, mientras que en el lenguaje matemático se refiere a todos los números.

• En el lenguaje matemático una curva simple es una curva que no se corta a si misma, aunque su forma sea extraordinariamente complicada.

Las matemáticas siempre se ligan a la existencia de símbolos que, paradójicamente, son necesarios para expresarlas de forma concisa y sencilla.

OBJETO DE LA LÓGICA

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

PROPOSICIONES Y OPERACIONES LÓGICAS.

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:

VERDADERO (V) o FALSO (F)

En resumen, podemos dar la siguiente definición: Proposición es toda oración declarativa.

Clasificación de las Proposiciones

Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas. Por ejemplo, sea la proposición "p: 3 + 6 = 9" es una proposición simple o atómica.

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:

Notación y Conectivos Lógicos

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:

Símbolo Operación asociada Significado

~ Negación no p o no es cierto que p

 Conjunción o producto lógico p y q

 Disyunción o suma lógica p o q (en sentido incluyente)

 Implicación p implica q, o si p entonces q

 Doble implicación p si y sólo si q

 Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente)

~ Negación no p o no es cierto que p

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas senténciales o sentencias. Estas pueden ser:

Tautología: es la sentencia que es verdadera.

Contradicción: es la sentencia que es falsa.

Indeterminación:

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