Fase II Ecuaciones Difrenciales

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

x dy/dx+x^3 y=0

Se normaliza la Ecuación

dy/dx+ x^2 y=0

P(x)=x^2

Calculamos el factor integrante

μ=e^∫▒p(x)dx μ=e^∫▒〖x^2 dx〗 = e^(x^3/3)

Multiplicamos por µ la ecuación y se aplica la igualdad (μy)^(' )= μ(y^'+py)

e^(x^3/3) (y^'+x^2 y)=0 → 〖(e^(x^3/3) y)〗^'=0

Integramos

e^(x^3/3) y=C → y=Ce^(x^3/3)

B.〖 y〗^2 x^'+2yx=0 Ecuación diferencial lineal, homogénea con coeficientes variables

y^2 x^'+2yx=0 y^2 x^'=-2yx y^2 dy/dx=-2yx

y^2/y dx=-2xdy ydx=2xdy ∫▒dx/x=-2∫▒dy/y

lnx=-2lny+lnC lnx=lny^(-2)+lnC lnx=ln(C-y^(-2) )

x=C-y^(-2)

y^"- y^'-6y=0 y^”= m^2

y^'=m

m^2-m-6=0

(m-3)(m+2)=0

Por lo tanto las raíces son:

m_1=3 ,m_2=-2

La solución general:

y=C_1 e^3x+C_2 e^(-2x) Es una ecuación diferencial homogénea.

y^3-3y^2-3y^'-y= e^x-x

no homogénea

Solución

La ecuación auxiliar asociada es

m^3-3m^2-3m=0→m(m^2-3m-3)=0

m_1=0; m_2=(3+√21)/2;m_3=(3-√21)/2

y_c=c_1+c_2 e^((3+√21)/2 x)+c_3 e^((3-√21)/2 x)

y_(p_1 )=Ax^3+Bx^2+Cx+D;y_(p_2 )=Fe^x→y_p=Ax^3+Bx^2+Cx+D+Fe^x

〖y^'〗_p=3Ax^2+2Bx+C+Fe^x;y_p^((2) )=6Ax+2B+Fe^x; y_p^((3) )=6A+Fe^x

y^((3) )-3y^((2) )-3y^'=6A+Fe^x-18Ax-6B-3C-3Fe^x-9Ax^2-6Bx-3Fe^x

6A+Fe^x-18Ax-6B-3C-3Fe^x-9Ax^2-6Bx-3Fe^x=e^x-x

-5F=1→F=-1/5

9A=0→A=0

-18A-6B=-1→0-6B=-1→B=1/6

-6B-3C=0→-1-3C=0→C=-1/3

y=c_1+c_2 e^((3+√21)/2 x)+c_3 e^((3-√21)/2 x)+1/6 x^2-1/3 x-1/5 e^x+c_4

∴y=c_2 e^((3+√21)/2 x)+c_3 e^((3-√21)/2 x)+1/6 x^2-1/3 x-1/5 e^x+C

E.

Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea.

m_2-9=0 (0)-9 (A)=54

(m+3)(m-3)=0 A=-54⁄9

R_1=-3 , R_2=3

A=-6Y → C= C_1 e-3x+ C_2 e 3xy

= C_1-3x+C_2 e3x-6

yp=A Solución General

y^' p=0

y^" p=0

F.y^"+25y=6senx

m^2+25=0

m=√(-25)=m=√(-1) √25

Las raíces son:

m=±5i ,m_2=-5i

La solución complementaria es:

y=C_1 cos5x+ C_2 sen5x

G.y^'-yx=5x

Ecuación normalizada

p(x)=-x f(x)=5x

Calculamos el factor integrante

μ(x)=e^∫▒p(x)dx= e^∫▒f(-x)dx

...