Mejoramiento

ESFUERZOS EN VIGAS

Existe una relación entre el momento flexionante y los esfuerzos normales generados por este. Así como la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes en las vigas.

Hipótesis:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

        [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

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[pic 40][pic 41]

1. Las secciones planas de las vigas inicialmente planas permanecerán así.
2. El material es homogéneo y cumple con la ley de Hooke.
3. Es igual el módulo de elasticidad a tensión y a compresión.
4. La viga es inicialmente recta y d sección constante.
5. Las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de la viga.

Plano neutro: Los esfuerzos y deformaciones son igual a cero.[pic 42]

-Deformacion de la viga.

Momento de inercia de la seccion:

[pic 43]

• Como se obtiene el momento de inercia de una sección rectangular, eje que pasa por su centroide.

[pic 44][pic 45]

[pic 46][pic 47][pic 48]

Consideremos la deformación de una viga cualquiera “gh”, situada a una distancia “y” del plano neutro.

“hk” es el alargamiento de esta fibra y está dada por:

[pic 49]

Su deformación unitaria es: [pic 50]

Si “p” es el radio de curvatura del plano neutro, la longitud “ef” queda definida como:

[pic 51]

Por lo que:

[pic 52]

Como se supone que el material es homogéneo y cumple con la ley Hooke:

Ϯ=E ϵ;    σ = (E/p) y

En esta expresión se observa que el esfuerzo en cualquier fibra debido a la flexión es directamente proporcional a su distancia al plano neutro. Tomando en cuenta las condiciones de equilibrio:

ΣFx=0;      σxdA=0[pic 53]

En donde σx equivale al esfuerzo anterior, si se sustituye por su valor calculado se obtiene que:

E/P    ydA=0[pic 54][pic 55][pic 56]

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Como “ydA”, es el llamado momento elástico del área diferencial dA, con respecto al eje neutro, la integración de ydA, es el momento estático total de área.[pic 92]

Para esta expresión, el único valor que puede ser nulo es ȳ lo cual nos demuestra que el plano neutro pasa por el centroide de la sección transversal.

Para: ΣFy=0

V=Vr, donde Vr es la suma de todas las fuerzas cortantes Tx y Da.

Esto es:[pic 93]

Vr =   ƮxydA

Para: ΣFz=0

ƮxydA=0 para la condición estudiada no existen fuerzas externas en la componente z.

Para la condición:

ΣMy=0, las fuerzas externas no producen momento con respecto al eje “y”, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores, por lo tanto:

ΣMy=0;      z (σxdA)=0[pic 94]

Como  σx=Ey/P

E/P=  zydA[pic 95]

La integral de zydA, se conoce como producto de inercia “Pzy”, que será nulo solo si “y” o “z” son ejes de simetría o ejes principales de la sección.

La última condición de equilibrio  ΣMz=0 requiere que el momento flexionante, sea equilibrado por el momento resistente, es decir;

M=Mr

Mr =   y (σxdA)[pic 96]

Sustituyendo  σx por su valor Ey/P

La integral de y2 Da, es conocida como “momento de inercia (I) del área con respecto al eje de referencia que en este caso es el eje neutro (eje y), que pasa por el centro de gravedad. Finalmente se obtiene que:

M=EI/P;     Que también se puede escribir como:

1/P=M/EI;       O también;

E/P=M/I=σ/Y

Esta expresión llamada formula de la flexión o formula de la escuadría.

Si en σ=My/I, sustituimos a “y” por “c”, en dónde:

“c” es la distancia del eje neutro al elemento más alejado sometido a tensión se tiene que:

σmax=Mc/I

El cociente I/c, llamado “módulo de resistencia de la sección” o simplemente módulo de la sección y se designa por S.

Por lo que se tiene:

σmax=M/ (I/c)

σmax=M/S

CENTROIDES

En el plano neutro los esfuerzos valen cero.[pic 97]

[pic 98][pic 99]

[pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

Ejemplo:

Encontrar ȳ de la siguiente figura:[pic 105]

                          A1=8in       ȳ1=7.5in[pic 106][pic 107]

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