Producto escalar y norma euclídea

1.1. Producto escalar y norma euclídea

Voy a recordarte algunas cosas que ya debes conocer. Como sabes, Rn es un espacio vectorial

en el que suele destacarse la llamada base canónica formada por los vectores {e1,e2, . . . ,en}

donde ek es el vector cuyas componentes son todas nulas excepto la que ocupa el lugar k que

es igual a 1.

Dados dos vectores x = (x1,x2, . . . ,xn), y = (y1,y2, . . . ,yn) se define su producto escalar

x

y

por:

x

y

=

Xn

j=1

xjyj = x1y1+x2y2+···+xnyn

Este producto escalar se llama producto escalar euclídeo. Observa que el producto escalar de

dos vectores no es un vector sino un número real. La notación x.y es frecuentemente usada en

los libros de Física para representar el producto escalar de los vectores x e y. Las dos notaciones

son útiles y las usaremos en lo que sigue.

Las siguientes propiedades del producto escalar se deducen fácilmente de la definición:

•

x

y

=

y

x

para todos x,y∈Rn (simetría).

•

ax+by

z

= a

x

z

+b

y

z

para todos a,b∈R y para todos x,y,z∈Rn (linealidad).

La norma euclídea de un vector x se define por

kxk =

q

x

x

=

vuut

Xn

k=1

x2k

En libros de física es frecuente representar la norma euclídea por |x| y se le llama módulo o

magnitud o longitud del vector x. También es frecuente seguir el convenio de que una letra en

negrita, por ejemplo v, representa un vector (digamos, la velocidad); y la misma letra pero en

tipo normal, v, representa su norma (que sería la rapidez o celeridad). Ni que

...