Producto Escalar

Producto escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es unaoperación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Producto vectorial

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de unespacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior)

Triple producto escalar

El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

Producto punto y producto cruz

El producto punto es una operación entre dos vectores que da como resultado un número (un escalar) por lo que también se le conoce como producto escalar y está definido como

.

Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado

Donde es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .

Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de ) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial, definido mediante el determinante

donde son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes .

El producto corresponde a un vector perpendicular a y cuya norma o módulo es

.

donde nuevamente, es el ángulo entre los vectores.

Del resultado anterior se deducen dos resultados:

El valor de es igual al área del paralelogramo determinado por y .

Los vectores y son paralelos (colineales) si y sólo si .

Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.

Triple producto escalar

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores. Una expresión de la forma no tiene mucho sentido porque

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